Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Английские задачи на лимиты последовательностей часть 2
СообщениеДобавлено: 15 сен 2017, 23:57 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
14 сен 2017, 15:15
Сообщений: 25
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение
Пожалуйста объясните методы решения. Спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Английские задачи на лимиты последовательностей часть 2
СообщениеДобавлено: 16 сен 2017, 00:01 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 10:11
Сообщений: 3028
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
666 раз в 601 сообщениях
Очков репутации: 195

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Сами то что думаете? Уж по крайней мере, первая задача не требует особых знаний, только аккуратный счёт.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Английские задачи на лимиты последовательностей часть 2
СообщениеДобавлено: 16 сен 2017, 01:04 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
14 сен 2017, 15:15
Сообщений: 25
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Swan, problem №2 разрешил сам. Насчет первой смутные догадки... Не могу понять о каком лимите идет речь, если площадь треугольников обозначена.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Английские задачи на лимиты последовательностей часть 2
СообщениеДобавлено: 16 сен 2017, 02:50 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 23:55
Сообщений: 712
Cпасибо сказано: 43
Спасибо получено:
116 раз в 109 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Raliyev
речь о том, что [math]s_n[/math] меняется в зависимости от [math]n[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Английские задачи на лимиты последовательностей часть 2
СообщениеДобавлено: 17 сен 2017, 15:36 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
14 сен 2017, 15:15
Сообщений: 25
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Это понятно, но ведь оно будет всегда стремиться к бесконечности или я в чем-то ошибаюсь?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Английские задачи на лимиты последовательностей часть 2
СообщениеДобавлено: 17 сен 2017, 15:40 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
14 сен 2017, 15:15
Сообщений: 25
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пожалуйста опишите ход решения для Problem№1

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Английские задачи на лимиты последовательностей часть 2
СообщениеДобавлено: 17 сен 2017, 16:21 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 10:11
Сообщений: 3028
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
666 раз в 601 сообщениях
Очков репутации: 195

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Raliyev писал(а):
Это понятно, но ведь оно будет всегда стремиться к бесконечности или я в чем-то ошибаюсь?

Что оно будет стремиться?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Английские задачи на лимиты последовательностей часть 2
СообщениеДобавлено: 17 сен 2017, 17:53 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
17 сен 2017, 17:48
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А как решать 2 задачу?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Английские задачи на лимиты последовательностей часть 2
СообщениеДобавлено: 17 сен 2017, 20:41 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
12 ноя 2016, 16:04
Сообщений: 96
Cпасибо сказано: 24
Спасибо получено:
24 раз в 23 сообщениях
Очков репутации: 15

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Raliyev, здравствуйте! Если не секрет, где Вы учитесь? Я сам преподаю физику и математику в СФУ. У нас в "ВУЗе" "наука" уже развалилась к чертовой матери. Приятно, что хоть где-то еще предлагают творческие задачи, да еще и записанные на английском.
Теперь про Ваши задачи. Если прямоугольный треугольник [math]ABC[/math] мысленно дополнить до квадрата, то в нем будет ровно [math]n^{2}[/math] вписанных квадратов. При этом диагональ этого квадрата пересекает внутренности [math]n[/math] квадратов, которые расположены на диагонали. Итого, в треугольнике [math]ABC[/math] ровно [math]\frac{ n^{2}-n }{ 2 }[/math] вписанных квадратов. При этом площадь каждого квадрата равна [math]\frac{ 2S }{ n^{2} }[/math] ([math]2S[/math] - это площадь большого квадрата, до которого мы дополнили [math]\,\triangle\, ABC[/math], [math]n^{2}[/math] - количество маленьких квадратов в большом). Сумма площадей всех вписанных в [math]\,\triangle\, ABC[/math] квадратов равна [math]s_{n}=\frac{ 2S }{ n^{2} }\frac{ n^{2}-n }{ 2 }=S\left( 1-\frac{ 1 }{ n } \right)[/math]. Предел [math]\lim_{n \to \infty }s_{n}=S[/math].
Дальше про круги в треугольнике. Если "идти" вдоль высоты [math]EG[/math] от точки [math]G[/math] к точке [math]E[/math], то мы обнаружим, что количество кругов в каждом следующем слое уменьшается на единицу. Поскольку вдоль стороны [math]DF[/math] уложено [math]n[/math] кругов, то всего в [math]\,\triangle\, DEF[/math] [math]n+\left( n-1 \right) +...+1=\sum\limits_{k=1}^{n}k=\frac{ n\left( n+1 \right) }{ 2 }[/math] кругов (использовалась формула суммы членов арифметической прогрессии). Дальше, любая высота в [math]\,\triangle\, DEF[/math] находится из теоремы Пифагора: [math]h=\sqrt{a^{2}-\left(\frac{ a }{ 2 } \right)^{2} }=\frac{ \sqrt{3} }{ 2 }a[/math] ( [math]a[/math] - сторона [math]\,\triangle\, DEF[/math]). Дальше предлагаю провести биссектрису (она же медиана, и она же высота) из точки [math]D[/math]. Она пересечет центр [math]O[/math] той окружности, с которой она пересечется в первый раз (все точки пересечения с окружностями нумеруем в направлении от точки [math]D[/math] к точке пересечения биссектрисы угла [math]EDF[/math] со стороной [math]EF[/math]). Пусть [math]H[/math] будет точка пересечения перпендикуляра, опущенного из точки [math]O[/math] на сторону [math]DF[/math]. В [math]\,\triangle\, DOH[/math] [math]\angle ODH=30^{\circ}=\frac{ \pi }{ 6 }[/math], сторона [math]DH=r_{n} \cdot \operatorname{ctg}{\left( \frac{ \pi }{ 6 } \right)=\sqrt{3}r_{n} }[/math] ( [math]r_{n}[/math] - радиус каждого из кругов для того случая, когда на стороне треугольника лежит [math]n[/math] кругов). Далее, [math]DF=DH+r_{n}+\left( n-2 \right)2r_{n}+r_{n}+DH=2r_{n}\left( n-1+\sqrt{3} \right)=a[/math]. Отсюда [math]r_{n}=\frac{ a }{ 2\left( n-1+\sqrt{3} \right) }[/math]Площадь треугольника [math]DEF[/math] равна [math]R=\frac{ 1 }{ 2 }ah=\frac{ \sqrt{3} }{ 4 }a^{2}[/math]. Поэтому [math]a=2\sqrt{\frac{ R }{ \sqrt{3} } }[/math]. Окончательно для [math]r_{n}[/math] получаем следующее выражение: [math]r_{n}=\frac{ 1 }{ n-1+\sqrt{3} } \sqrt{\frac{ R }{ \sqrt{3} } }[/math]. Для [math]c_{n}[/math] получаем: [math]c_{n}=\frac{ n\left( n+1 \right) }{ 2 } \pi r_{n}^{2}=\frac{ \pi R }{ 2\sqrt{3}}\frac{ 1+\frac{ 1 }{ n } }{ 1-\frac{ 1 }{ n }+\frac{ \sqrt{3} }{ n } }[/math]. [math]\lim_{n \to \infty }c_{n}=\frac{ \pi R }{ 2\sqrt{3} }[/math]!!! Обломись интуиция! Я думал, что получится [math]R[/math]! Видимо, здесь зарыта какая-то хитрость... Но при стремлении радиусов шаров к нулю и одновременном увеличении их числа суммарная площадь пустот составляет [math]\left( 1-\frac{ \pi }{ 2\sqrt{3} } \right) \approx 0.0931[/math] площади треугольника (около 9.31%)... Это уже отдельная тема для обсуждения...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Kirill1986 "Спасибо" сказали:
Raliyev
 Заголовок сообщения: Re: Английские задачи на лимиты последовательностей часть 2
СообщениеДобавлено: 18 сен 2017, 19:53 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
14 сен 2017, 15:15
Сообщений: 25
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо!!!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Лимиты Последовательностей

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

roket177

1

106

31 окт 2014, 22:47

Задачи по функциональному анализу. Часть 2

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

frozx

5

522

04 янв 2013, 16:31

Лимиты

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Kyle

2

119

26 янв 2012, 17:44

Лимиты

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

RiNMoTo

8

291

12 ноя 2011, 11:54

Лимиты

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Meak

1

125

08 дек 2013, 16:22

Решить лимиты

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

nikoniko777

5

208

03 мар 2013, 18:40

Лимиты и Функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

NightSpektral

3

131

20 ноя 2013, 04:25

Продеффиницировать данные функции, сложнейшие лимиты

в форуме Дифференциальное исчисление

gleb

1

56

22 ноя 2016, 19:47

Фундаментальность последовательностей

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Wild_Spy

6

652

13 ноя 2013, 15:58

Пределы последовательностей

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

aleksey22095

0

170

15 дек 2013, 18:13


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Yandex [bot] и гости: 9


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved