Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 8 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
lusa |
|
|
Помогите найти предел, не используя правило Лопиталя, плиз! К сожалению, стандартные методы для нахождения предела дробно-рациональной функции не помогают. |
||
Вернуться к началу | ||
Booker48 |
|
|
...
|
||
Вернуться к началу | ||
Ellipsoid |
|
|
Поделите числитель и знаменатель на [math]7^n[/math].
|
||
Вернуться к началу | ||
lusa |
|
||
Ellipsoid, спасибо за подсказку, но, боюсь, что деление на [math]7^{n}[/math] неопределенность не снимет, а только её видоизменит, поскольку получим
[math]\lim_{n \to \infty }[/math] [math]\frac{ \frac{ 4 \cdot 7^{n} }{ 7^{n} }+\frac{ 3 \cdot n^{3} }{7 ^{n} } - \frac{ 2 \cdot n }{ 7^{n} } - \frac{ 3 }{ 7^{n} } }{ \frac{ 2 \cdot 6^{n} }{ 7^{n} } - \frac{ 3 \cdot n^{5} }{ 7^{n} } - \frac{ 3 \cdot n }{ 7^{n} } + \frac{ 5 }{ 7^{n} } }[/math] , что равносильно [math]\lim_{n \to \infty }[/math] [math]\frac{ 4 + \left[ \frac{ \infty }{ \infty } \right] - \left[ \frac{ \infty }{ \infty } \right] - 0 }{ 0 - \left[ \frac{ \infty }{ \infty } \right] - \left[ \frac{ \infty }{ \infty } \right] + 0 }[/math], а что делать дальше? Непонятно ... Еще раз обращаю внимание, что предел отношения двух многочленов необходимо найти путем приведения (сокращения) его к виду, позволяющему использовать только основные теоремы (свойства) пределов, без применения правила Лопиталя. |
|||
Вернуться к началу | |||
Space |
|
|
Но это не дробно рациональная функция. [math]4 \cdot7 ^{n}+ 3 \cdot n ^{3}- 2 \cdot n-3[/math] не многочлен, ведь [math]7 ^{n}[/math] — показательная функция, а не степенная. Что замечательно, она растет быстрее любого многочлена.
[math]\lim_{n \to +\infty } \frac{ 4 \cdot7 ^{n} + 3 \cdot n ^{3} - 2 \cdot n-3 }{2 \cdot 6^{n} - 3 \cdot n^{5} - 3 \cdot n + 5 }= \lim_{n \to +\infty }\frac{ 4 \cdot \left( \frac{7}{6} \right) ^{n} + \frac{3 \cdot n ^{3} - 2 \cdot n-3 }{6^n} }{2+ \frac{- 3 \cdot n^{5} - 3 \cdot n + 5 }{6^n} } = \lim_{n \to +\infty }\frac{ 4 \cdot \left( \frac{7}{6} \right) ^{n} + 0}{2 +0}=+\infty[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Space "Спасибо" сказали: lusa |
||
lusa |
|
|
Space, спасибо за оперативный и доступный ответ.
Однако, вызывает сомнение утверждение, что показательная функция растет быстрее любого многочлена. В доступных справочниках есть доказательства того, что показательная функция растет быстрее степенной [math]\lim_{x \to \infty}[/math] [math]\frac{ x^{a}}{ a^{x}}[/math] [math]=0[/math] [math]\lim_{x \to \infty}[/math] [math]\frac{ a^{x}}{ x^{a}}[/math] [math]=\infty[/math] причем видно, что [math]\, a[/math], где в показателе степени, а где в основании, одно и тоже. На основании этого вопрос: можно ли утверждать, что показательная функция всегда растет быстрее любого многочлена, если многочлен состоит из большого числа одночленов, причем степень многочлена значительно превосходит основание показательной функции? |
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Числитель и знаменатель делим на [math]7^n[/math] и это приводит к такому продолжению:
[math]=\lim\limits_{n \to \infty} \frac{4+0-0-0}{2\left (\frac 67\right )^n-0-0+0}=\frac 40=\infty[/math] График подтверждает это http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot((4*7%5En%2B3*n%5E3-2*n-3)%2F(2*6%5En-3*n%5E5-3n%2B5),n%3D1..100) |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали: lusa |
||
Space |
|
|
lusa писал(а): Однако, вызывает сомнение утверждение, что показательная функция растет быстрее любого многочлена. И правильно вызывает. Взять хотя бы [math]\left( \frac{1}{2} \right) ^{x}[/math]. Основание должно превосходить [math]1[/math]. Но если выполнено условие [math]a >1[/math], то при [math]x \to +\infty[/math] [math]a^x[/math] растет быстрее любого многочлена. Это легко проверяется правилом Лопиталя. Дело в том, что у многочлена все производные, начиная с некоторой равны, нулю. Если [math]P_n(x)[/math] — многочлен степени [math]n[/math], то [math]\lim_{x \to +\infty} \frac{P_n(x)}{a^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\left( P_n(x) \right) ^{(n+1)}}{\left( a^x \right) ^{(n+1)}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{0}{\left( \ln{(a)} \right)^{n+1} \cdot a^x}[/math] = 0. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Space "Спасибо" сказали: lusa |
||
[ Сообщений: 8 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 39 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |