Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Сложный предел дробно-рациональной функции
СообщениеДобавлено: 12 сен 2017, 02:10 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 сен 2017, 01:17
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\lim_{n \to \infty }[/math] [math]\frac{ 4 \cdot7 ^{n} + 3 \cdot n ^{3} - 2 \cdot n-3 }{2 \cdot 6^{n} - 3 \cdot n^{5} - 3 \cdot n + 5 }[/math]

Помогите найти предел, не используя правило Лопиталя, плиз!
К сожалению, стандартные методы для нахождения предела дробно-рациональной функции не помогают.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сложный предел дробно-рациональной функции
СообщениеДобавлено: 12 сен 2017, 02:15 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 23:55
Сообщений: 712
Cпасибо сказано: 43
Спасибо получено:
116 раз в 109 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сложный предел дробно-рациональной функции
СообщениеДобавлено: 12 сен 2017, 13:49 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 23:28
Сообщений: 3829
Cпасибо сказано: 482
Спасибо получено:
990 раз в 873 сообщениях
Очков репутации: 305

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Поделите числитель и знаменатель на [math]7^n[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сложный предел дробно-рациональной функции
СообщениеДобавлено: 12 сен 2017, 17:33 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 сен 2017, 01:17
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ellipsoid, спасибо за подсказку, но, боюсь, что деление на [math]7^{n}[/math] неопределенность не снимет, а только её видоизменит, поскольку получим

[math]\lim_{n \to \infty }[/math] [math]\frac{ \frac{ 4 \cdot 7^{n} }{ 7^{n} }+\frac{ 3 \cdot n^{3} }{7 ^{n} } - \frac{ 2 \cdot n }{ 7^{n} } - \frac{ 3 }{ 7^{n} } }{ \frac{ 2 \cdot 6^{n} }{ 7^{n} } - \frac{ 3 \cdot n^{5} }{ 7^{n} } - \frac{ 3 \cdot n }{ 7^{n} } + \frac{ 5 }{ 7^{n} } }[/math] , что равносильно

[math]\lim_{n \to \infty }[/math] [math]\frac{ 4 + \left[ \frac{ \infty }{ \infty } \right] - \left[ \frac{ \infty }{ \infty } \right] - 0 }{ 0 - \left[ \frac{ \infty }{ \infty } \right] - \left[ \frac{ \infty }{ \infty } \right] + 0 }[/math],

а что делать дальше? Непонятно ...

Еще раз обращаю внимание, что предел отношения двух многочленов необходимо найти путем приведения (сокращения) его к виду, позволяющему использовать только основные теоремы (свойства) пределов, без применения правила Лопиталя.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сложный предел дробно-рациональной функции
СообщениеДобавлено: 12 сен 2017, 17:53 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 13:28
Сообщений: 268
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
89 раз в 85 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Но это не дробно рациональная функция. [math]4 \cdot7 ^{n}+ 3 \cdot n ^{3}- 2 \cdot n-3[/math] не многочлен, ведь [math]7 ^{n}[/math] — показательная функция, а не степенная. Что замечательно, она растет быстрее любого многочлена.
[math]\lim_{n \to +\infty } \frac{ 4 \cdot7 ^{n} + 3 \cdot n ^{3} - 2 \cdot n-3 }{2 \cdot 6^{n} - 3 \cdot n^{5} - 3 \cdot n + 5 }= \lim_{n \to +\infty }\frac{ 4 \cdot \left( \frac{7}{6} \right) ^{n} + \frac{3 \cdot n ^{3} - 2 \cdot n-3 }{6^n} }{2+ \frac{- 3 \cdot n^{5} - 3 \cdot n + 5 }{6^n} } = \lim_{n \to +\infty }\frac{ 4 \cdot \left( \frac{7}{6} \right) ^{n} + 0}{2 +0}=+\infty[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Space "Спасибо" сказали:
lusa
 Заголовок сообщения: Re: Сложный предел дробно-рациональной функции
СообщениеДобавлено: 12 сен 2017, 20:31 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 сен 2017, 01:17
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Space, спасибо за оперативный и доступный ответ.
Однако, вызывает сомнение утверждение, что показательная функция растет быстрее любого многочлена.
В доступных справочниках есть доказательства того, что показательная функция растет быстрее степенной

[math]\lim_{x \to \infty}[/math] [math]\frac{ x^{a}}{ a^{x}}[/math] [math]=0[/math]

[math]\lim_{x \to \infty}[/math] [math]\frac{ a^{x}}{ x^{a}}[/math] [math]=\infty[/math]

причем видно, что [math]\, a[/math], где в показателе степени, а где в основании, одно и тоже.
На основании этого вопрос: можно ли утверждать, что показательная функция всегда растет быстрее любого многочлена, если многочлен состоит из большого числа одночленов, причем степень многочлена значительно превосходит основание показательной функции?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сложный предел дробно-рациональной функции
СообщениеДобавлено: 12 сен 2017, 21:01 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10011
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 916
Спасибо получено:
3070 раз в 2673 сообщениях
Очков репутации: 617

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Числитель и знаменатель делим на [math]7^n[/math] и это приводит к такому продолжению:

[math]=\lim\limits_{n \to \infty} \frac{4+0-0-0}{2\left (\frac 67\right )^n-0-0+0}=\frac 40=\infty[/math]

График подтверждает это
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot((4*7%5En%2B3*n%5E3-2*n-3)%2F(2*6%5En-3*n%5E5-3n%2B5),n%3D1..100)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
lusa
 Заголовок сообщения: Re: Сложный предел дробно-рациональной функции
СообщениеДобавлено: 12 сен 2017, 21:28 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 13:28
Сообщений: 268
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
89 раз в 85 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
lusa писал(а):
Однако, вызывает сомнение утверждение, что показательная функция растет быстрее любого многочлена.

И правильно вызывает. Взять хотя бы [math]\left( \frac{1}{2} \right) ^{x}[/math]. Основание должно превосходить [math]1[/math]. Но если выполнено условие [math]a >1[/math], то при [math]x \to +\infty[/math] [math]a^x[/math] растет быстрее любого многочлена. Это легко проверяется правилом Лопиталя. Дело в том, что у многочлена все производные, начиная с некоторой равны, нулю. Если [math]P_n(x)[/math] — многочлен степени [math]n[/math], то [math]\lim_{x \to +\infty} \frac{P_n(x)}{a^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\left( P_n(x) \right) ^{(n+1)}}{\left( a^x \right) ^{(n+1)}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{0}{\left( \ln{(a)} \right)^{n+1} \cdot a^x}[/math] = 0.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Space "Спасибо" сказали:
lusa
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Разложение дробно-рациональной функции

в форуме Информатика и Компьютерные науки

Race

6

73

05 окт 2017, 16:12

График дробно-рациональной функции

в форуме Алгебра

sakhalinochka

5

810

19 ноя 2012, 04:23

Интегрирование правильной дробно-рациональной функции

в форуме Интегральное исчисление

nata12

5

287

04 янв 2013, 20:16

Найти асимптоты дробно-рациональной функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Roman

16

614

11 фев 2012, 22:44

Неопределенный интеграл от дробно-рациональной функции

в форуме Интегральное исчисление

POLY

1

408

28 ноя 2011, 18:04

Точка симметрии дробно-рациональной функции

в форуме Maple

G4ME0VER62

0

27

02 окт 2017, 14:20

Найти область определения дробно-рациональной функции

в форуме Алгебра

Alexander_3

4

970

04 сен 2012, 19:33

Сложный предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Ryslannn

6

278

27 фев 2013, 22:50

Сложный предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

youi

1

89

23 мар 2017, 18:49

Сложный предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Ryslannn

12

391

23 дек 2013, 18:48


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved