Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Предел
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=55519
Страница 1 из 1

Автор:  lemni [ 27 авг 2017, 09:09 ]
Заголовок сообщения:  Предел

Изображение
в чем ошибка?не сходится с ответом
Изображение
и как решается этот предел?

Автор:  Kirill1986 [ 27 авг 2017, 11:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел

1)[math]\lim_{x \to + \infty } \left( \left( 2x-3 \right)\left( \ln{x+2}-\ln{x} \right) \right)=\lim_{x \to + \infty }\ln{\left( \frac{ x+2 }{ x } \right)^{2x-3} }=\lim_{x \to + \infty }\ln{\left( \frac{ \left( \left( 1+\frac{ 1 }{ x\slash 2 } \right)^{ x\slash 2 } \right)^{4} }{ \left( 1+\frac{ 1 }{ x \slash 2 } \right)^{3} } \right)=e^{4} }[/math] (в последнем равенстве использован первый замечательный предел).

2) Точно [math]\boldsymbol{x}[/math] к [math]\infty[/math] стремится? Если да, то очень просто все: [math]\lim_{x \to + \infty }\frac{ 1-\cos{\left( 8x \right) } }{ x\operatorname{arctg}\left( 4x \right) }=\lim_{x \to + \infty }\frac{ 1-\cos{\left( 8x \right) } }{ x\frac{ \pi }{ 2 } }=\frac{ 2 }{ \pi }\lim_{x \to + \infty }\frac{ 1-\cos{\left( 8x \right) } }{ x }=0[/math]. Если к нулю, то я бы два раза "лопиталил":[math]\lim_{x \to 0 }\frac{ 1-\cos{\left( 8x \right) } }{ x\operatorname{arctg}\left( 4x \right) }=\lim_{x \to 0 }\frac{ 8\sin{8x} }{ \operatorname{arctg}\left( 4x \right)+x\frac{ 4 }{ 1+16x^{2} } }=\lim_{x \to 0}\frac{ 64\cos{8x} }{ \frac{ 4 }{ 1+16x^{2} }+\frac{ 4 }{ 1+16x^{2} }-\frac{ 128x^{2} }{ \left( 1+16x^{2} \right)^{2} } }=\frac{ 64 }{ 8 }=8[/math].

Автор:  Space [ 27 авг 2017, 12:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел

Kirill1986 писал(а):
в последнем равенстве использован первый замечательный предел

Скорее второй. А также потерян логарифм.

[math]\lim_{x \to + \infty }\ln{\left( \frac{ \left( \left( 1+\frac{ 1 }{ x\slash 2 } \right)^{ x\slash 2 } \right)^{4} }{ \left( 1+\frac{ 1 }{ x \slash 2 } \right)^{3} } \right)= \ln{\left( e^{4} \right)} }=4[/math].

Автор:  Kirill1986 [ 27 авг 2017, 13:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел

Ага, Space, спасибо! Напутал.

Автор:  Kirill1986 [ 27 авг 2017, 13:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел

Да, и скобочки у логарифма забыл поставить.

Короче, вот так надо с 1): [math]\lim_{x \to + \infty }\left( \left( 2x-3 \right)\left( \ln{\left( x+2 \right) }-\ln{\left( x \right) } \right) \right)=\lim_{x \to + \infty }\ln{\left( \frac{ x+2 }{ x } \right)^{2x-3} }=\lim_{x \to + \infty }\ln{\left( \frac{ \left( \left( 1+\frac{ 1 }{ x \slash 2 } \right)^{x \slash 2} \right)^{4} }{ \left( 1+\frac{ 1 }{ x \slash 2 } \right)^{3} } \right) }=\ln{e^{4} }=4[/math]. Использовался, конечно же, второй замечательный предел. Уважаемые форумчане, прошу прощения! Поторопился...

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/