Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Определение кусочно-непрерывной функции
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=55483
Страница 1 из 2

Автор:  Kirill1986 [ 22 авг 2017, 15:51 ]
Заголовок сообщения:  Определение кусочно-непрерывной функции

Дорогие друзья!

Я сейчас изучаю аксиоматическую теорию множеств, и, помимо этого, приходиться почитывать Верещагина и Шеня "Начала теории множеств". Книжка - класс! Всем, кто ценит сокровища математики, очень рекомендую. Там есть одна задачка №34, в которой требуется доказать, что множество точек разрыва неубывающей функции действительного аргумента конечно или счетно. Но речь сейчас пойдет не об этой задаче. Мне пришлось залезть в "Математический анализ" Ильина, Садовничего и Сендова, чтобы освежить в памяти тему "Точки разрыва". Помимо прочего, в конце соответствующего параграфа (§ 5 гл. 4) этой книги приводится определение кусочно-непрерывной функции. Ниже я привожу это определение. Итак.

Определение.

Пусть задана функция [math]\boldsymbol{f} \left( \boldsymbol{x} \right)[/math]: [math]\left[ a,b \right][/math] [math]\to \mathbb{R}[/math] . Эта функция называется кусочно-неперерывной на сегменте [math]\left[ a,b \right][/math], если 1) она непрерывна в каждой точке [math]\boldsymbol{x} \in \left( a,b \right)[/math], за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых она имеет разрыв первого рода; 2) имеет конечный левосторонний предел в точке [math]\boldsymbol{a}[/math] и конечный правосторонний предел в точке [math]\boldsymbol{b}[/math].

Все бы в этом определении хорошо, да вот я (на данный момент) считаю несколько "недоделанной" первую часть приведенного определения. С определениями, конечно, не спорят, но такое определение представляется мне нецелесообразным. Именно, считаю, что вместо слов "конечного числа точек" должны стоять слова "конечного или счетного числа точек".
Например, я не вижу причин, за исключением приведенного определения, не считать функцию [math]\boldsymbol{f} \left( \boldsymbol{x} \right)[/math]: [math]\left[ 0,2 \pi \right][/math] [math]\to \mathbb{R}[/math], равную [math]\sin{nx}[/math] при [math]\boldsymbol{x} \in \left( \frac{ 2 \pi }{ n+1 },\frac{ 2 \pi }{ n } \right)[/math] и произвольным числам из [math]\mathbb{R}[/math] при [math]\boldsymbol{x} = \frac{ 2 \pi }{ n }[/math], где [math]\boldsymbol{n} \in \mathbb{N}[/math], кусочно-непрерывной.
Второе требование в приведенном определении считаю естественным, поскольку в случае его невыполнения, разумно полагать, что в точке [math]\boldsymbol{a}[/math], или в точке [math]\boldsymbol{b}[/math], или в обеих сразу функция имеет разрыв второго рода.

Прошу Вас высказать свое мнение по этому вопросу. Очень интересно. Жду.

Автор:  Space [ 23 авг 2017, 10:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определение кусочно-непрерывной функции

Kirill1986 писал(а):
С определениями, конечно, не спорят, но такое определение представляется мне нецелесообразным.

Но нецелесообразным по отношению к чему? Где Вы собираетесь использовать Ваш вариант определения? Дело в том, что существует еще более сильное обобщение непрерывности — непрерывность почти всюду. Если число разрывов счетно, то функция непрерывна почти всюду. Мне кажется, просто нет необходимости вводить еще одно, промежуточное, определение.

Если же Вы настаиваете, что необходимости нет именно в исходном определении (лишь с конечным числом точек разрыва), то с этим я спорить не стану, это дело вкуса. Мне, например, конечное обобщение кажется естественнее, существенно проще и нагляднее.

Автор:  Kirill1986 [ 23 авг 2017, 17:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определение кусочно-непрерывной функции

В общем, я понял, что в действительности - это не очень содержательный разговор. Вопрос выбора, он и есть вопрос выбора.

Спасибо, что напомнили про непрерывность почти всюду. Я лишь позволю себе заметить, что обобщение это существенно более сильное! Существенно!!!

1) Число точек разрыва или конечно, или счетно, или даже мощности континуума (вспомним канторову пыль, имеющую мощность континуума и меру нуль по Лебегу).
2) Сами разрывы вовсе не обязаны быть разрывами первого рода. Любого: нулевого (я так устранимый разрыв называю), первого или второго.
3) Функция вовсе не обязана иметь конечные пределы на концах сегмента. Эти пределы могут быть также бесконечными или не существовать вовсе.

Скажу еще, что пусть, может быть, удобнее определять кусочную непрерывность при помощи только конечного количества точек разрыва. Но что я теперь еще заметил, так это то, что мне не понятно, почему разрывы должны быть обязательно первого рода. Нулевого рода почему не могут быть? Ну и заодно, почему все же второго рода не могут быть разрывы?

Спасибо за Ваши ценные мысли!

Автор:  Space [ 23 авг 2017, 18:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определение кусочно-непрерывной функции

Kirill1986 писал(а):
Нулевого рода почему не могут быть?

В определении кусочно-непрерывной функции, известном мне, ничего не говорится про тип разрывов. Требуется лишь, чтобы их число было конечно и чтобы в каждой точке существовали конечные односторонние пределы. Согласно такому определению, устранимые разрывы не мешают функции быть кусочно-непрерывной. Также мне известно, что некоторые авторы считают устранимый разрыв разрывом первого рода (поэтому не стану относить его к нулевому). То есть в точке имеет место разрыв первого рода, если существуют конечные односторонние пределы. Думаю, этой позиции и придерживается автор данного Вами определения.

Kirill1986 писал(а):
Ну и заодно, почему все же второго рода не могут быть разрывы?

Может быть, чтобы функция была ограничена и равномерно непрерывна. Тогда некоторые свойства (например, интегральные) переносятся с непрерывных функций на кусочно-непрерывные.

Автор:  Kirill1986 [ 23 авг 2017, 19:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определение кусочно-непрерывной функции

Space писал(а):
Думаю, этой позиции и придерживается автор данного Вами определения.


Space, да нет, не этой. В подтверждение своих слов могу лишь отослать Вас к учебнику Ильина, Садовничего и Сендова (§ 5 гл. 4). Но Вы правы в том, что не все авторы дают такое определение, как в этом учебнике. Я посмотрел 1) Фихтенгольца, 2) Архипова, Садовничего и Чубарикова. Авторы этих учебников, как и Вы, не вводят отдельного понятия устранимого разрыва. У них это - разрыв первого рода. А вот в учебнике Кудрявцева, увы, есть ошибка в определении.

Про разрыв второго рода, конечно, понятно. Мог бы и сам догадаться.

Автор:  Kirill1986 [ 23 авг 2017, 19:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определение кусочно-непрерывной функции

Добавлю, что все же в определении кусочно-непрерывной функции я не вижу причин для не наличия счетного количества точек разрыва. К потере каких хороших свойств функции наличие счетного количества точек разрыва первого рода при условии сохранения п. 2 определения могло бы привести?

Автор:  Space [ 23 авг 2017, 20:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определение кусочно-непрерывной функции

Kirill1986 писал(а):
К потере каких хороших свойств функции наличие счетного количества точек разрыва первого рода при условии сохранения п. 2 определения могло бы привести?

К сожалению, ответа на этом вопрос я так и не нашел. Буду думать еще. Может быть, помогут другие участники форума.

Пока могу привести аргумент только в пользу "неестественности" такого определения. Неужели Вы бы назвали такую функцию кусочно-непрерывной? Она разрывна во всех рациональных точках отрезка [math][0,1][/math] и непрерывна во всех иррациональных.

Еще более изощренный пример — функция Римана. Она определена на отрезке [math][0,1][/math]. [math]f(x) = \left\{\!\begin{aligned}
& \frac{1}{q}, x = \frac{p}{q} \\
& 0, x \ne \frac{p}{q}
\end{aligned}\right.[/math]
, где [math]\frac{p}{q}[/math] — несократимая дробь, [math]p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}[/math]. То есть, она равна нулю во всех иррациональных точках. В каждой точке [math][0,1][/math] существует предел, равный [math]0[/math], следовательно она непрерывна во всех иррациональных точках и разрывна в рациональных. Правда, здесь все разрывы устранимые.

Автор:  Kirill1986 [ 24 авг 2017, 10:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определение кусочно-непрерывной функции

На самом деле даже приведенные примеры очень убедительны! Я соглашусь, что язык не поворачивается назвать приведенные Вами функции кусочно-непрерывными.

Только лишь одна проблемка: все эти функции, пока меня не убедили в обратном, имеют все те же свойства, что и кусочно-непрерывные на сегменте функции, если определять их так, как это сделано в учебниках по мат. анализу. Так что, по крайней мере, предложенное мною расширение хотя бы логически приемлемо.

А за примеры спасибо! Красиво!

Автор:  Space [ 24 авг 2017, 18:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определение кусочно-непрерывной функции

Space писал(а):
Kirill1986 писал(а):
Ну и заодно, почему все же второго рода не могут быть разрывы?

Может быть, чтобы функция была ограничена и равномерно непрерывна.

Вот здесь я ошибся. Разрывная функция, конечно, не может быть равномерно непрерывной. Но область определения можно покрыть конечным множеством отрезков, на которых непрерывность равномерная.

Автор:  Kirill1986 [ 24 авг 2017, 18:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определение кусочно-непрерывной функции

Space писал(а):
Разрывная функция, конечно, не может быть равномерно непрерывной.


Разумеется, не может. Но я изначально понял Вас так, что она равномерно непрерывна на каждом сегменте с концами в соседних точках разрыва. При этом значения в самих точках разрыва мы мысленно заменяем соответствующими односторонними пределами. А дальше, ссылаясь на теорему Кантора, говорим о равномерной непрерывности на каждом сегменте. При этом два соседних сегмента имеют непустое пересечение в виде одной точки. Я Вас так понял.

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/