Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Определение кусочно-непрерывной функции
СообщениеДобавлено: 22 авг 2017, 16:51 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
12 ноя 2016, 16:04
Сообщений: 100
Cпасибо сказано: 25
Спасибо получено:
25 раз в 24 сообщениях
Очков репутации: 15

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Дорогие друзья!

Я сейчас изучаю аксиоматическую теорию множеств, и, помимо этого, приходиться почитывать Верещагина и Шеня "Начала теории множеств". Книжка - класс! Всем, кто ценит сокровища математики, очень рекомендую. Там есть одна задачка №34, в которой требуется доказать, что множество точек разрыва неубывающей функции действительного аргумента конечно или счетно. Но речь сейчас пойдет не об этой задаче. Мне пришлось залезть в "Математический анализ" Ильина, Садовничего и Сендова, чтобы освежить в памяти тему "Точки разрыва". Помимо прочего, в конце соответствующего параграфа (§ 5 гл. 4) этой книги приводится определение кусочно-непрерывной функции. Ниже я привожу это определение. Итак.

Определение.

Пусть задана функция [math]\boldsymbol{f} \left( \boldsymbol{x} \right)[/math]: [math]\left[ a,b \right][/math] [math]\to \mathbb{R}[/math] . Эта функция называется кусочно-неперерывной на сегменте [math]\left[ a,b \right][/math], если 1) она непрерывна в каждой точке [math]\boldsymbol{x} \in \left( a,b \right)[/math], за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых она имеет разрыв первого рода; 2) имеет конечный левосторонний предел в точке [math]\boldsymbol{a}[/math] и конечный правосторонний предел в точке [math]\boldsymbol{b}[/math].

Все бы в этом определении хорошо, да вот я (на данный момент) считаю несколько "недоделанной" первую часть приведенного определения. С определениями, конечно, не спорят, но такое определение представляется мне нецелесообразным. Именно, считаю, что вместо слов "конечного числа точек" должны стоять слова "конечного или счетного числа точек".
Например, я не вижу причин, за исключением приведенного определения, не считать функцию [math]\boldsymbol{f} \left( \boldsymbol{x} \right)[/math]: [math]\left[ 0,2 \pi \right][/math] [math]\to \mathbb{R}[/math], равную [math]\sin{nx}[/math] при [math]\boldsymbol{x} \in \left( \frac{ 2 \pi }{ n+1 },\frac{ 2 \pi }{ n } \right)[/math] и произвольным числам из [math]\mathbb{R}[/math] при [math]\boldsymbol{x} = \frac{ 2 \pi }{ n }[/math], где [math]\boldsymbol{n} \in \mathbb{N}[/math], кусочно-непрерывной.
Второе требование в приведенном определении считаю естественным, поскольку в случае его невыполнения, разумно полагать, что в точке [math]\boldsymbol{a}[/math], или в точке [math]\boldsymbol{b}[/math], или в обеих сразу функция имеет разрыв второго рода.

Прошу Вас высказать свое мнение по этому вопросу. Очень интересно. Жду.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Определение кусочно-непрерывной функции
СообщениеДобавлено: 23 авг 2017, 11:58 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 13:28
Сообщений: 351
Cпасибо сказано: 36
Спасибо получено:
117 раз в 112 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Kirill1986 писал(а):
С определениями, конечно, не спорят, но такое определение представляется мне нецелесообразным.

Но нецелесообразным по отношению к чему? Где Вы собираетесь использовать Ваш вариант определения? Дело в том, что существует еще более сильное обобщение непрерывности — непрерывность почти всюду. Если число разрывов счетно, то функция непрерывна почти всюду. Мне кажется, просто нет необходимости вводить еще одно, промежуточное, определение.

Если же Вы настаиваете, что необходимости нет именно в исходном определении (лишь с конечным числом точек разрыва), то с этим я спорить не стану, это дело вкуса. Мне, например, конечное обобщение кажется естественнее, существенно проще и нагляднее.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Space "Спасибо" сказали:
Kirill1986
 Заголовок сообщения: Re: Определение кусочно-непрерывной функции
СообщениеДобавлено: 23 авг 2017, 18:27 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
12 ноя 2016, 16:04
Сообщений: 100
Cпасибо сказано: 25
Спасибо получено:
25 раз в 24 сообщениях
Очков репутации: 15

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В общем, я понял, что в действительности - это не очень содержательный разговор. Вопрос выбора, он и есть вопрос выбора.

Спасибо, что напомнили про непрерывность почти всюду. Я лишь позволю себе заметить, что обобщение это существенно более сильное! Существенно!!!

1) Число точек разрыва или конечно, или счетно, или даже мощности континуума (вспомним канторову пыль, имеющую мощность континуума и меру нуль по Лебегу).
2) Сами разрывы вовсе не обязаны быть разрывами первого рода. Любого: нулевого (я так устранимый разрыв называю), первого или второго.
3) Функция вовсе не обязана иметь конечные пределы на концах сегмента. Эти пределы могут быть также бесконечными или не существовать вовсе.

Скажу еще, что пусть, может быть, удобнее определять кусочную непрерывность при помощи только конечного количества точек разрыва. Но что я теперь еще заметил, так это то, что мне не понятно, почему разрывы должны быть обязательно первого рода. Нулевого рода почему не могут быть? Ну и заодно, почему все же второго рода не могут быть разрывы?

Спасибо за Ваши ценные мысли!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Определение кусочно-непрерывной функции
СообщениеДобавлено: 23 авг 2017, 19:37 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 13:28
Сообщений: 351
Cпасибо сказано: 36
Спасибо получено:
117 раз в 112 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Kirill1986 писал(а):
Нулевого рода почему не могут быть?

В определении кусочно-непрерывной функции, известном мне, ничего не говорится про тип разрывов. Требуется лишь, чтобы их число было конечно и чтобы в каждой точке существовали конечные односторонние пределы. Согласно такому определению, устранимые разрывы не мешают функции быть кусочно-непрерывной. Также мне известно, что некоторые авторы считают устранимый разрыв разрывом первого рода (поэтому не стану относить его к нулевому). То есть в точке имеет место разрыв первого рода, если существуют конечные односторонние пределы. Думаю, этой позиции и придерживается автор данного Вами определения.

Kirill1986 писал(а):
Ну и заодно, почему все же второго рода не могут быть разрывы?

Может быть, чтобы функция была ограничена и равномерно непрерывна. Тогда некоторые свойства (например, интегральные) переносятся с непрерывных функций на кусочно-непрерывные.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Определение кусочно-непрерывной функции
СообщениеДобавлено: 23 авг 2017, 20:23 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
12 ноя 2016, 16:04
Сообщений: 100
Cпасибо сказано: 25
Спасибо получено:
25 раз в 24 сообщениях
Очков репутации: 15

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Space писал(а):
Думаю, этой позиции и придерживается автор данного Вами определения.


Space, да нет, не этой. В подтверждение своих слов могу лишь отослать Вас к учебнику Ильина, Садовничего и Сендова (§ 5 гл. 4). Но Вы правы в том, что не все авторы дают такое определение, как в этом учебнике. Я посмотрел 1) Фихтенгольца, 2) Архипова, Садовничего и Чубарикова. Авторы этих учебников, как и Вы, не вводят отдельного понятия устранимого разрыва. У них это - разрыв первого рода. А вот в учебнике Кудрявцева, увы, есть ошибка в определении.

Про разрыв второго рода, конечно, понятно. Мог бы и сам догадаться.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Определение кусочно-непрерывной функции
СообщениеДобавлено: 23 авг 2017, 20:40 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
12 ноя 2016, 16:04
Сообщений: 100
Cпасибо сказано: 25
Спасибо получено:
25 раз в 24 сообщениях
Очков репутации: 15

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добавлю, что все же в определении кусочно-непрерывной функции я не вижу причин для не наличия счетного количества точек разрыва. К потере каких хороших свойств функции наличие счетного количества точек разрыва первого рода при условии сохранения п. 2 определения могло бы привести?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Определение кусочно-непрерывной функции
СообщениеДобавлено: 23 авг 2017, 21:41 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 13:28
Сообщений: 351
Cпасибо сказано: 36
Спасибо получено:
117 раз в 112 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Kirill1986 писал(а):
К потере каких хороших свойств функции наличие счетного количества точек разрыва первого рода при условии сохранения п. 2 определения могло бы привести?

К сожалению, ответа на этом вопрос я так и не нашел. Буду думать еще. Может быть, помогут другие участники форума.

Пока могу привести аргумент только в пользу "неестественности" такого определения. Неужели Вы бы назвали такую функцию кусочно-непрерывной? Она разрывна во всех рациональных точках отрезка [math][0,1][/math] и непрерывна во всех иррациональных.

Еще более изощренный пример — функция Римана. Она определена на отрезке [math][0,1][/math]. [math]f(x) = \left\{\!\begin{aligned}
& \frac{1}{q}, x = \frac{p}{q} \\
& 0, x \ne \frac{p}{q}
\end{aligned}\right.[/math]
, где [math]\frac{p}{q}[/math] — несократимая дробь, [math]p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}[/math]. То есть, она равна нулю во всех иррациональных точках. В каждой точке [math][0,1][/math] существует предел, равный [math]0[/math], следовательно она непрерывна во всех иррациональных точках и разрывна в рациональных. Правда, здесь все разрывы устранимые.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Space "Спасибо" сказали:
Kirill1986
 Заголовок сообщения: Re: Определение кусочно-непрерывной функции
СообщениеДобавлено: 24 авг 2017, 11:50 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
12 ноя 2016, 16:04
Сообщений: 100
Cпасибо сказано: 25
Спасибо получено:
25 раз в 24 сообщениях
Очков репутации: 15

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
На самом деле даже приведенные примеры очень убедительны! Я соглашусь, что язык не поворачивается назвать приведенные Вами функции кусочно-непрерывными.

Только лишь одна проблемка: все эти функции, пока меня не убедили в обратном, имеют все те же свойства, что и кусочно-непрерывные на сегменте функции, если определять их так, как это сделано в учебниках по мат. анализу. Так что, по крайней мере, предложенное мною расширение хотя бы логически приемлемо.

А за примеры спасибо! Красиво!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Определение кусочно-непрерывной функции
СообщениеДобавлено: 24 авг 2017, 19:41 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 13:28
Сообщений: 351
Cпасибо сказано: 36
Спасибо получено:
117 раз в 112 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Space писал(а):
Kirill1986 писал(а):
Ну и заодно, почему все же второго рода не могут быть разрывы?

Может быть, чтобы функция была ограничена и равномерно непрерывна.

Вот здесь я ошибся. Разрывная функция, конечно, не может быть равномерно непрерывной. Но область определения можно покрыть конечным множеством отрезков, на которых непрерывность равномерная.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Определение кусочно-непрерывной функции
СообщениеДобавлено: 24 авг 2017, 19:59 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
12 ноя 2016, 16:04
Сообщений: 100
Cпасибо сказано: 25
Спасибо получено:
25 раз в 24 сообщениях
Очков репутации: 15

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Space писал(а):
Разрывная функция, конечно, не может быть равномерно непрерывной.


Разумеется, не может. Но я изначально понял Вас так, что она равномерно непрерывна на каждом сегменте с концами в соседних точках разрыва. При этом значения в самих точках разрыва мы мысленно заменяем соответствующими односторонними пределами. А дальше, ссылаясь на теорему Кантора, говорим о равномерной непрерывности на каждом сегменте. При этом два соседних сегмента имеют непустое пересечение в виде одной точки. Я Вас так понял.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Kirill1986 "Спасибо" сказали:
Space
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Определение кусочно-гладкой функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Goshayah

0

684

06 апр 2012, 01:26

Решить дифференциальное уравнение с кусочно-непрерывной

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

kapol

0

168

27 май 2013, 23:17

Найти значение кусочно-заданной функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

powerzzzz

20

987

22 июн 2013, 12:48

Исследование кусочно-заданной функции на непрерывность

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

myxaypechi

1

41

17 ноя 2017, 16:24

Доопределение функции до непрерывной

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

delmel

8

447

22 апр 2015, 10:32

Нули непрерывной функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Free Dreamer

1

152

18 мар 2013, 22:01

Функциональное уравнение для непрерывной функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Human

0

228

16 мар 2013, 17:29

Непрерывность минимума непрерывной функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Human

4

377

21 янв 2013, 17:26

Ограниченность функции, непрерывной на полуотрезке

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Andy

1

51

17 сен 2017, 15:02

Найти наибольшие и наименьшие значения непрерывной функции..

в форуме Дифференциальное исчисление

Ron4326

4

304

08 май 2012, 09:33


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved