Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 5 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
conjack |
|
|
[math]\lim_{x\to a} \frac{x^{x} - a^{a}} {x - a} (a>0)[/math] Пусть [math]x=t+a => t=x-a \to 0[/math] [math]\lim_{t\to 0}\frac{(t+a)^{t+a}-a^a}{t}=\lim_{t\to 0}\frac{(t+a)^{a}(t+a)^{t}-a^a}{t}=a^a\lim_{t\to 0}\frac{(1+\frac{t}{a})^a(t+a)^t-1}{t}[/math]=... Так как логарифм и показательная функция непрерывны: [math]\lim_{t\to 0}(t+a)^t=e^{\lim_{t\to 0}t\ln{(t+a)}}=e^{0\ln{a}}=1[/math] [math]...=a^a\lim_{t\to 0}\frac{(1+\frac{t}{a})^a-1}{t}=a^{a-1}\lim_{t\to 0}\frac{(1+\frac{t}{a})^a-1}{t \,\colon a}=a^a[/math] А правильный ответ должен быть: [math]a^a(\ln{a}+1)[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Надо в третьей строке применить правило Лопиталя. Тогда в числителе будет
[math](t+a)^{t+a}[\ln(t+a)+1][/math] , а в знаменателе 1. При t=0 и получим верный ответ |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали: conjack |
||
Human |
|
|
conjack писал(а): Подскажите, пожалуйста, что в моих преобразованиях некорректно? Примерно то же, что и здесь: [math]2=\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{x\cdot x-1}{x-1}\stackrel{(!)}=\lim_{x\to1}\frac{x\cdot1-1}{x-1}=1[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: conjack |
||
conjack |
|
|
Human, спасибо. А когда можно производить подобные "сокращения"? Когда в сомножителях нет переменных?
|
||
Вернуться к началу | ||
Human |
|
|
conjack писал(а): А когда можно производить подобные "сокращения"? Если Вы про замену "куска" функции его пределом, то ответ: практически никогда. Вообще, во избежание ошибок, прежде чем применить какое-то преобразование, поищите теорему, которая это преобразование обосновывает: арифметические операции с пределами, предел композиции, правило Лопиталя, замечательные пределы и т. д. Ваше "преобразование" не покрывается такими теоремами, значит это уже знак, что оно может быть неверно. Действуйте, исходя из имеющегося у Вас инструментария, и не делайте того, что Вашими инструментами не покрывается. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: conjack |
||
[ Сообщений: 5 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 22 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |