Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Предел функции. Что я сделал не так?
СообщениеДобавлено: 17 июн 2017, 16:31 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 дек 2013, 05:07
Сообщений: 9
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте. Вроде бы решил предел, но с ответом не сходится. Подскажите, пожалуйста, что в моих преобразованиях некорректно?

[math]\lim_{x\to a} \frac{x^{x} - a^{a}} {x - a} (a>0)[/math]

Пусть [math]x=t+a => t=x-a \to 0[/math]

[math]\lim_{t\to 0}\frac{(t+a)^{t+a}-a^a}{t}=\lim_{t\to 0}\frac{(t+a)^{a}(t+a)^{t}-a^a}{t}=a^a\lim_{t\to 0}\frac{(1+\frac{t}{a})^a(t+a)^t-1}{t}[/math]=...

Так как логарифм и показательная функция непрерывны: [math]\lim_{t\to 0}(t+a)^t=e^{\lim_{t\to 0}t\ln{(t+a)}}=e^{0\ln{a}}=1[/math]

[math]...=a^a\lim_{t\to 0}\frac{(1+\frac{t}{a})^a-1}{t}=a^{a-1}\lim_{t\to 0}\frac{(1+\frac{t}{a})^a-1}{t \,\colon a}=a^a[/math]

А правильный ответ должен быть: [math]a^a(\ln{a}+1)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Предел функции. Что я сделал не так?
СообщениеДобавлено: 17 июн 2017, 17:50 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Надо в третьей строке применить правило Лопиталя. Тогда в числителе будет

[math](t+a)^{t+a}[\ln(t+a)+1][/math] , а в знаменателе 1. При t=0 и получим верный ответ

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
conjack
 Заголовок сообщения: Re: Предел функции. Что я сделал не так?
СообщениеДобавлено: 17 июн 2017, 19:53 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
conjack писал(а):
Подскажите, пожалуйста, что в моих преобразованиях некорректно?

Примерно то же, что и здесь:

[math]2=\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{x\cdot x-1}{x-1}\stackrel{(!)}=\lim_{x\to1}\frac{x\cdot1-1}{x-1}=1[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
conjack
 Заголовок сообщения: Re: Предел функции. Что я сделал не так?
СообщениеДобавлено: 17 июн 2017, 20:04 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 дек 2013, 05:07
Сообщений: 9
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human, спасибо. А когда можно производить подобные "сокращения"? Когда в сомножителях нет переменных?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Предел функции. Что я сделал не так?
СообщениеДобавлено: 17 июн 2017, 20:27 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
conjack писал(а):
А когда можно производить подобные "сокращения"?

Если Вы про замену "куска" функции его пределом, то ответ: практически никогда.
Вообще, во избежание ошибок, прежде чем применить какое-то преобразование, поищите теорему, которая это преобразование обосновывает: арифметические операции с пределами, предел композиции, правило Лопиталя, замечательные пределы и т. д. Ваше "преобразование" не покрывается такими теоремами, значит это уже знак, что оно может быть неверно. Действуйте, исходя из имеющегося у Вас инструментария, и не делайте того, что Вашими инструментами не покрывается.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
conjack
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Верно ли сделал задачу?

в форуме Механика

makc59

9

245

07 май 2018, 09:54

Проверьте задачу, верно ли я сделал?

в форуме Механика

makc59

1

204

07 май 2018, 09:51

Задачи с векторами, верно ли сделал?

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

makc59

48

1035

25 окт 2017, 17:48

Какова вероятность того, что он сделал это без ошибки

в форуме Теория вероятностей

kira_

33

460

04 ноя 2020, 14:37

Сделал словесную игру для эрудитов на Андроид

в форуме Объявления участников Форума

IQFun

0

246

14 окт 2015, 12:32

Найти сумму рядов. Проверить правили ли я сделал

в форуме Ряды

Garcia09

2

327

30 ноя 2015, 18:44

Я найду кого-нибудь, чтобы он сделал домашнее задание по алг

в форуме Алгебра

davyt

0

38

23 мар 2024, 14:45

Исследовать сходимость ряда,я почти сделал,довести до конца

в форуме Ряды

adam11

2

504

26 июн 2016, 15:09

Предел функции; Непрерывность функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

student2017

0

383

22 ноя 2017, 18:46

Предел функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

dmzpp

2

108

26 дек 2019, 06:37


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 29


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved