Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Функции от нескольких переменных
СообщениеДобавлено: 07 май 2017, 14:05 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
07 май 2017, 14:03
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1. Найдите и изобразите на плоскости область определения функции:z=arccos(x^2/y^2)
2. Вычислите предел при х,у стремящемся к нулю, (sin(x+y))/(x^(1/3)+y^(1/3))
3. Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, найдите du/dt , если u = arcsin (5*x^(1/2)+2*y), где x=e^t, y=t^(1/2)
4. Используя понятие дифференциала, найдите приближенное значение функции f (x;y) =ln(x^2+y^2) в точке (1,04;0,04)
5. Найдите производную функции z=(3*x^3-4*y)/(x+y) в точке (1;1) в направлении вектора a = 2i − j
6. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции z=8*x-2*x^2+12*y-y^2+3*x^3 на замкнутом множестве, ограниченном
линией 2*(x-2)^2+(y-6)^2=1

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Функции от нескольких переменных
СообщениеДобавлено: 07 май 2017, 14:32 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Dreams
Я предлагаю Вам рассмотреть первое задание. Какие у Вас есть соображения по его выполнению?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Функции от нескольких переменных
СообщениеДобавлено: 07 май 2017, 15:04 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
07 май 2017, 14:03
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy писал(а):
Dreams
Я предлагаю Вам рассмотреть первое задание. Какие у Вас есть соображения по его выполнению?

y не равен нулю и -1<=x^2/y^2<=1

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Функции от нескольких переменных
СообщениеДобавлено: 07 май 2017, 18:14 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22268
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2096
Спасибо получено:
4958 раз в 4631 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Dreams
Dreams писал(а):
Andy писал(а):
Dreams
Я предлагаю Вам рассмотреть первое задание. Какие у Вас есть соображения по его выполнению?

y не равен нулю и -1<=x^2/y^2<=1

Почти так. Нужно подумать и уточнить, по-моему. Ведь при этом [math]x^2 \geqslant 0,~y^2>0.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Функции от нескольких переменных
СообщениеДобавлено: 07 май 2017, 18:19 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
07 май 2017, 14:03
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
я ее решила, не могли бы Вы подсказать насчет других?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Функции от нескольких переменных
СообщениеДобавлено: 08 май 2017, 10:45 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 12:28
Сообщений: 594
Cпасибо сказано: 72
Спасибо получено:
186 раз в 172 сообщениях
Очков репутации: 37

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Решим второе задание. Вообще, многомерные пределы всегда доставляют много хлопот. Даже в этом простом случае функция не определена ни в одной окрестности точки [math](0;0)[/math]. Но можно найти предел по области определения, то есть при [math]x \ne -y[/math], что, как я понимаю, от нас и требуется.
[math]f(x,y) = \frac{\sin{(x + y)} }{x^\frac{1}{3} + y^\frac{1}{3}}[/math].
Пусть [math]x = \alpha t[/math], [math]y = \beta t[/math], где [math]\alpha[/math] и [math]\beta[/math] — произвольные функции [math]t[/math], для которых выполнено [math]\alpha^2 + \beta ^2 = 1[/math]. Тогда [math]\lim_{\substack{ x \to 0 \\ y \to 0}} f(x,y) = \lim_{t \to 0} f( \alpha t, \beta t) = \lim_{t \to 0} \frac{\sin{(( \alpha + \beta )t)} }{( \alpha ^\frac{1}{3} + \beta ^\frac{1}{3})t^\frac{1}{3} } = \lim_{t \to 0} \frac{( \alpha + \beta )t^\frac{2}{3} }{\alpha ^\frac{1}{3} + \beta ^\frac{1}{3}} =[/math]
[math]=\lim_{t \to 0} \frac{(\alpha ^\frac{1}{3} + \beta ^\frac{1}{3})(\alpha ^\frac{2}{3} - ( \alpha \beta)^\frac{1}{3}+\beta ^\frac{2}{3}) }{\alpha ^\frac{1}{3} + \beta ^\frac{1}{3}}t^\frac{2}{3} = \lim_{t \to 0} (\alpha ^\frac{2}{3} - ( \alpha \beta)^\frac{1}{3}+\beta ^\frac{2}{3})t^\frac{2}{3} = 0[/math], так как [math]\left| \alpha ^\frac{2}{3} - ( \alpha \beta)^\frac{1}{3}+\beta ^\frac{2}{3} \right| \leqslant \left| \alpha ^\frac{2}{3} \right| +\left| ( \alpha \beta)^\frac{1}{3} \right| +\left| \beta ^\frac{2}{3} \right| \leqslant 3[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Функции от нескольких переменных
СообщениеДобавлено: 09 май 2017, 09:02 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
07 май 2017, 14:03
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Мне не совсем понятно, как Вы решили, не могли бы Вы объяснить подробнее?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Функции от нескольких переменных
СообщениеДобавлено: 09 май 2017, 10:02 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 12:28
Сообщений: 594
Cпасибо сказано: 72
Спасибо получено:
186 раз в 172 сообщениях
Очков репутации: 37

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Признаюсь, я не знаю, как расписать это еще подробнее, я и так старался ничего не пропускать. Какой конкретно переход Вам не ясен?
Если Вас смущает то, что, что я подставил [math]x = \alpha t[/math] и [math]y = \beta t[/math], то скажу лишь, что есть такая теорема. Двойной предел [math]f(x,y)[/math] при [math](x,y) \to (0,0)[/math] существуют и равен числу [math]a[/math] тогда и только тогда, когда для любых функций [math]\alpha (t)[/math] и [math]\beta (t)[/math], таких что [math]\alpha(t) ^2+ \beta(t)^2 = 1[/math], существует предел [math]\lim_{t \to 0} f( \alpha (t)*t, \beta (t)*t) = a[/math].
Это более удобный аналог тригонометрического метода, где вместо [math]\alpha[/math] и [math]\beta[/math] подставляются [math]\sin{(\varphi)}[/math] и [math]\cos{( \varphi )}[/math], который очень громоздкий, если переменных больше двух.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Функции от нескольких переменных
СообщениеДобавлено: 09 май 2017, 11:33 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Попробую изложить это решение чуть проще. В окрестности нуля ([math]x=y=0[/math]) выполняется [math]\sin (x+y) \sim x+y[/math], где [math]\sim[/math] означает эквивалентность бесконечно малых. Далее, [math]\frac {x+y}{x^{1/3}+y^{1/3}}=x^{2/3}-x^{1/3}y^{1/3}+y^{2/3}[/math]. Последнее выражение очевидно стремиться к нулю.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
Space
 Заголовок сообщения: Re: Функции от нескольких переменных
СообщениеДобавлено: 09 май 2017, 13:07 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
07 май 2017, 14:03
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно, пожалуйста, написать, как это подавать преподавателю, чтобы он не задавал никаких вопросов и принял это задание?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 13 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Функции нескольких переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

Kiryanovth

0

345

15 апр 2016, 04:23

Функции нескольких переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

Polina1611

2

208

07 апр 2020, 19:47

Функции нескольких переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

never-sleep

1

466

12 апр 2014, 17:46

Функции нескольких переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

Juliya2405

1

335

23 май 2015, 21:11

Производные. Функции нескольких переменных

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Evgeshik88

1

223

20 окт 2014, 20:22

Интегрирование функции нескольких переменных

в форуме Интегральное исчисление

Luberz

2

275

29 окт 2016, 14:04

Погрешность функции нескольких переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

anastasiya8800

0

298

19 янв 2018, 19:31

Предел функции нескольких переменных

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Nashorn000

1

328

01 июн 2017, 17:59

Градиент функции нескольких переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

w0nna

2

127

30 май 2022, 18:19

Градиент функции нескольких переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

Mephisto

51

766

30 май 2022, 00:11


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 30


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved