Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 13 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Dreams |
|
|
2. Вычислите предел при х,у стремящемся к нулю, (sin(x+y))/(x^(1/3)+y^(1/3)) 3. Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, найдите du/dt , если u = arcsin (5*x^(1/2)+2*y), где x=e^t, y=t^(1/2) 4. Используя понятие дифференциала, найдите приближенное значение функции f (x;y) =ln(x^2+y^2) в точке (1,04;0,04) 5. Найдите производную функции z=(3*x^3-4*y)/(x+y) в точке (1;1) в направлении вектора a = 2i − j 6. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции z=8*x-2*x^2+12*y-y^2+3*x^3 на замкнутом множестве, ограниченном линией 2*(x-2)^2+(y-6)^2=1 |
||
Вернуться к началу | ||
Andy |
|
|
Dreams
Я предлагаю Вам рассмотреть первое задание. Какие у Вас есть соображения по его выполнению? |
||
Вернуться к началу | ||
Dreams |
|
|
Andy писал(а): Dreams Я предлагаю Вам рассмотреть первое задание. Какие у Вас есть соображения по его выполнению? y не равен нулю и -1<=x^2/y^2<=1 |
||
Вернуться к началу | ||
Andy |
|
|
Dreams
Dreams писал(а): Andy писал(а): Dreams Я предлагаю Вам рассмотреть первое задание. Какие у Вас есть соображения по его выполнению? y не равен нулю и -1<=x^2/y^2<=1 Почти так. Нужно подумать и уточнить, по-моему. Ведь при этом [math]x^2 \geqslant 0,~y^2>0.[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Dreams |
|
|
я ее решила, не могли бы Вы подсказать насчет других?
|
||
Вернуться к началу | ||
Space |
|
|
Решим второе задание. Вообще, многомерные пределы всегда доставляют много хлопот. Даже в этом простом случае функция не определена ни в одной окрестности точки [math](0;0)[/math]. Но можно найти предел по области определения, то есть при [math]x \ne -y[/math], что, как я понимаю, от нас и требуется.
[math]f(x,y) = \frac{\sin{(x + y)} }{x^\frac{1}{3} + y^\frac{1}{3}}[/math]. Пусть [math]x = \alpha t[/math], [math]y = \beta t[/math], где [math]\alpha[/math] и [math]\beta[/math] — произвольные функции [math]t[/math], для которых выполнено [math]\alpha^2 + \beta ^2 = 1[/math]. Тогда [math]\lim_{\substack{ x \to 0 \\ y \to 0}} f(x,y) = \lim_{t \to 0} f( \alpha t, \beta t) = \lim_{t \to 0} \frac{\sin{(( \alpha + \beta )t)} }{( \alpha ^\frac{1}{3} + \beta ^\frac{1}{3})t^\frac{1}{3} } = \lim_{t \to 0} \frac{( \alpha + \beta )t^\frac{2}{3} }{\alpha ^\frac{1}{3} + \beta ^\frac{1}{3}} =[/math] [math]=\lim_{t \to 0} \frac{(\alpha ^\frac{1}{3} + \beta ^\frac{1}{3})(\alpha ^\frac{2}{3} - ( \alpha \beta)^\frac{1}{3}+\beta ^\frac{2}{3}) }{\alpha ^\frac{1}{3} + \beta ^\frac{1}{3}}t^\frac{2}{3} = \lim_{t \to 0} (\alpha ^\frac{2}{3} - ( \alpha \beta)^\frac{1}{3}+\beta ^\frac{2}{3})t^\frac{2}{3} = 0[/math], так как [math]\left| \alpha ^\frac{2}{3} - ( \alpha \beta)^\frac{1}{3}+\beta ^\frac{2}{3} \right| \leqslant \left| \alpha ^\frac{2}{3} \right| +\left| ( \alpha \beta)^\frac{1}{3} \right| +\left| \beta ^\frac{2}{3} \right| \leqslant 3[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
Dreams |
|
|
Мне не совсем понятно, как Вы решили, не могли бы Вы объяснить подробнее?
|
||
Вернуться к началу | ||
Space |
|
|
Признаюсь, я не знаю, как расписать это еще подробнее, я и так старался ничего не пропускать. Какой конкретно переход Вам не ясен?
Если Вас смущает то, что, что я подставил [math]x = \alpha t[/math] и [math]y = \beta t[/math], то скажу лишь, что есть такая теорема. Двойной предел [math]f(x,y)[/math] при [math](x,y) \to (0,0)[/math] существуют и равен числу [math]a[/math] тогда и только тогда, когда для любых функций [math]\alpha (t)[/math] и [math]\beta (t)[/math], таких что [math]\alpha(t) ^2+ \beta(t)^2 = 1[/math], существует предел [math]\lim_{t \to 0} f( \alpha (t)*t, \beta (t)*t) = a[/math]. Это более удобный аналог тригонометрического метода, где вместо [math]\alpha[/math] и [math]\beta[/math] подставляются [math]\sin{(\varphi)}[/math] и [math]\cos{( \varphi )}[/math], который очень громоздкий, если переменных больше двух. |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
Попробую изложить это решение чуть проще. В окрестности нуля ([math]x=y=0[/math]) выполняется [math]\sin (x+y) \sim x+y[/math], где [math]\sim[/math] означает эквивалентность бесконечно малых. Далее, [math]\frac {x+y}{x^{1/3}+y^{1/3}}=x^{2/3}-x^{1/3}y^{1/3}+y^{2/3}[/math]. Последнее выражение очевидно стремиться к нулю.
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали: Space |
||
Dreams |
|
|
Можно, пожалуйста, написать, как это подавать преподавателю, чтобы он не задавал никаких вопросов и принял это задание?
|
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 13 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 30 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |