Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Теорема о существовании точных граней числового множества
СообщениеДобавлено: 08 янв 2017, 00:28 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
08 янв 2017, 00:14
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ниже приведено доказательство теоремы для ограниченного снизу множества.

Пусть E - множество точек на числовой прямой, ограниченное снизу. A - множество всех нижних границ множества E. B - множество всех остальных точек числовой прямой.
Множество A - непустое множество, так как E ограничено снизу, а множество B не пусто, так как для всякого x из E по теореме Архимеда найдётся n>x, и, значит, n есть элемент множества B.
Множества A и B не пересекаются и A∪B=R. Кроме того, для любых элементов a∈Aa∈A, b∈Bb∈B найдётся такой элемент xx из множества E, что x<b, так как b не является нижней границей и при этом x≥a⇒a<b. Таким образом множества A и B задают дедекиндово сечение. Пусть число m производит это сечение. Докажем, что оно и есть нижняя грань множества E.
Предположим, что m∈B. Тогда в множестве E найдётся такая точка x, что x<m. По свойству плотности действительных чисел найдётся такая точка k, что x<k<m. Правая часть неравенства говорит о том, что k∈A, а левая часть неравенства, что k∈B, но это невозможно. Выдвинутое предположене неверно и значит m∈A. Следовательно m - наибольшая из нижних границ в этом множестве, то есть нижняя грань множества E.

Вопрос относится к выделенному жирным шрифтом моменту. Каким образом левая часть неравенства говорит нам о том, что элемент k принадлежит множеству B? Никак не могу понять. Представляется, что все неравенство (обе его части) показывают, что k принадлежит множеству A.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Теорема о существовании точных граней числового множества
СообщениеДобавлено: 08 янв 2017, 00:29 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
08 янв 2017, 00:14
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ниже приведено доказательство теоремы для ограниченного снизу множества.

Пусть E - множество точек на числовой прямой, ограниченное снизу. A - множество всех нижних границ множества E. B - множество всех остальных точек числовой прямой.
Множество A - непустое множество, так как E ограничено снизу, а множество B не пусто, так как для всякого x из E по теореме Архимеда найдётся n>x, и, значит, n есть элемент множества B.
Множества A и B не пересекаются и A∪B=R. Кроме того, для любых элементов a∈A, b∈B найдётся такой элемент x из множества E, что x<b, так как b не является нижней границей и при этом x≥a⇒a<b. Таким образом множества A и B задают дедекиндово сечение. Пусть число m производит это сечение. Докажем, что оно и есть нижняя грань множества E.
Предположим, что m∈B. Тогда в множестве E найдётся такая точка x, что x<m. По свойству плотности действительных чисел найдётся такая точка k, что x<k<m. Правая часть неравенства говорит о том, что k∈A, а левая часть неравенства, что k∈B, но это невозможно. Выдвинутое предположене неверно и значит m∈A. Следовательно m - наибольшая из нижних границ в этом множестве, то есть нижняя грань множества E.

Вопрос относится к выделенному жирным шрифтом моменту. Каким образом левая часть неравенства говорит нам о том, что элемент k принадлежит множеству B? Никак не могу понять. Представляется, что все неравенство (обе его части) показывают, что k принадлежит множеству A.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Теорема о существовании точных граней

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Sergey Avdievich

33

1673

26 янв 2015, 10:11

Теорема равномощности N и множества (0,1) - |N|=|(0, 1)|

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

alexeymeev

17

311

17 июн 2022, 10:23

Ни квадратов, ни других точных степеней

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

Xenia1996

3

81

09 мар 2024, 00:57

Числа, представимые в виде суммы двух точных квадратов

в форуме Теория чисел

Xenia1996

1

109

19 фев 2024, 00:21

Правильно ли я понимаю доказательство о существовании sup?

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

52heartz

24

669

12 ноя 2017, 21:42

Проверить гипотезу о существовании связи

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

nevsk

4

211

07 янв 2021, 12:52

Исследование вопроса о существовании предела

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

351w

1

156

24 сен 2020, 17:18

Сумма граней для n d-гранных костей

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Fireman

11

235

29 июн 2022, 13:57

Свойства нижней и верхней граней

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Vantabu

19

449

24 июл 2019, 01:00

Уравнение всех граней пирамиды

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

prosto-nata

3

212

16 ноя 2020, 17:30


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 30


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
cron

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved