Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 2 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
akso13 |
|
|
Пусть E - множество точек на числовой прямой, ограниченное снизу. A - множество всех нижних границ множества E. B - множество всех остальных точек числовой прямой. Множество A - непустое множество, так как E ограничено снизу, а множество B не пусто, так как для всякого x из E по теореме Архимеда найдётся n>x, и, значит, n есть элемент множества B. Множества A и B не пересекаются и A∪B=R. Кроме того, для любых элементов a∈Aa∈A, b∈Bb∈B найдётся такой элемент xx из множества E, что x<b, так как b не является нижней границей и при этом x≥a⇒a<b. Таким образом множества A и B задают дедекиндово сечение. Пусть число m производит это сечение. Докажем, что оно и есть нижняя грань множества E. Предположим, что m∈B. Тогда в множестве E найдётся такая точка x, что x<m. По свойству плотности действительных чисел найдётся такая точка k, что x<k<m. Правая часть неравенства говорит о том, что k∈A, а левая часть неравенства, что k∈B, но это невозможно. Выдвинутое предположене неверно и значит m∈A. Следовательно m - наибольшая из нижних границ в этом множестве, то есть нижняя грань множества E. Вопрос относится к выделенному жирным шрифтом моменту. Каким образом левая часть неравенства говорит нам о том, что элемент k принадлежит множеству B? Никак не могу понять. Представляется, что все неравенство (обе его части) показывают, что k принадлежит множеству A. |
||
Вернуться к началу | ||
akso13 |
|
|
Ниже приведено доказательство теоремы для ограниченного снизу множества.
Пусть E - множество точек на числовой прямой, ограниченное снизу. A - множество всех нижних границ множества E. B - множество всех остальных точек числовой прямой. Множество A - непустое множество, так как E ограничено снизу, а множество B не пусто, так как для всякого x из E по теореме Архимеда найдётся n>x, и, значит, n есть элемент множества B. Множества A и B не пересекаются и A∪B=R. Кроме того, для любых элементов a∈A, b∈B найдётся такой элемент x из множества E, что x<b, так как b не является нижней границей и при этом x≥a⇒a<b. Таким образом множества A и B задают дедекиндово сечение. Пусть число m производит это сечение. Докажем, что оно и есть нижняя грань множества E. Предположим, что m∈B. Тогда в множестве E найдётся такая точка x, что x<m. По свойству плотности действительных чисел найдётся такая точка k, что x<k<m. Правая часть неравенства говорит о том, что k∈A, а левая часть неравенства, что k∈B, но это невозможно. Выдвинутое предположене неверно и значит m∈A. Следовательно m - наибольшая из нижних границ в этом множестве, то есть нижняя грань множества E. Вопрос относится к выделенному жирным шрифтом моменту. Каким образом левая часть неравенства говорит нам о том, что элемент k принадлежит множеству B? Никак не могу понять. Представляется, что все неравенство (обе его части) показывают, что k принадлежит множеству A. |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 2 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 30 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |