Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Отвратительный предел
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=52349
Страница 1 из 1

Автор:  Cetereel [ 03 янв 2017, 21:56 ]
Заголовок сообщения:  Найти предел функции

[math]\lim_{x \to 0}[/math]Sin5xCtg7x
Ни как не могу разобраться с этим пределом, голова уже не соображает.
Прошу прощения не там разместил
Не знаю как удалить.

Автор:  Cetereel [ 03 янв 2017, 22:03 ]
Заголовок сообщения:  Отвратительный предел

[math]\lim_{x \to 0}[/math]Sin5xCtg7x
Ни как не могу разобраться с этим пределом, голова уже не соображает.
А разглядеть первый замечательный предел ни как не получается но очень хочется.

Автор:  venjar [ 03 янв 2017, 22:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Отвратительный предел

Распишите котангенс, домножьте числитель и знаменатель сначала на 5х, потом на 7х и разглядывайте первый замечательный

Автор:  pewpimkin [ 03 янв 2017, 22:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Отвратительный предел

сtg(7x)=cos(7x)/sin(7x), ,умножьте числитель и знаменатель на (5х) и (7х) - вот и получите целых два замечательных предела

Автор:  _Sasha_ [ 03 янв 2017, 22:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Отвратительный предел

[math]\lim_{x \to 0}\sin{5x}\operatorname{ctg}{7x}=\lim_{x \to 0}\frac{ \sin{5x} \cdot \cos{7x} }{ \sin{7x} }= \frac{ 5 }{ 7 }\lim_{x \to 0}\left( \frac{ \sin{5x} }{ 5x } \cdot \frac{ 7x }{ \sin{7x} } \cdot \cos{7x} \right)=\frac{ 5 }{ 7 }[/math].

Автор:  _Sasha_ [ 03 янв 2017, 22:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Отвратительный предел

Данный пример можно решить и с помощью "приложения эквивалентных бесконечно малых функций к вычислению пределов".

При [math]x\to 0[/math] верно [math]\sin{x} \sim x[/math], значит и [math]\sin{5x} \sim 5x[/math]. Также, при [math]x\to 0[/math] верно [math]\operatorname{tg}{x} \sim x[/math], значит, и верно [math]\operatorname{tg}{7x} \sim 7x[/math].

Теперь вычислим предел.

[math]\lim_{x \to 0}\left( \sin{5x}\operatorname{ctg}{7x} \right) = \lim_{x \to 0}\frac{ \sin{5x} }{ \operatorname{tg}{7x} } = \lim_{x \to 0}\frac{ 5x }{ 7x } = \lim_{x \to 0}\frac{ 5 }{ 7 } = \frac{ 5 }{ 7 }[/math].

Ответ. [math]\frac{5}{7}[/math].

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/