Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Как преобразовать предел?
СообщениеДобавлено: 26 дек 2016, 20:43 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
27 окт 2016, 13:46
Сообщений: 308
Cпасибо сказано: 123
Спасибо получено:
19 раз в 19 сообщениях
Очков репутации: 24

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Дан предел: [math]\lim_{x \to 0}\frac{\arcsin 2x}{\ln(e-2x)-1}[/math]

Вычислить, не используя правило Лопиталя.

Решение:
[math]\lim_{x \to 0}\frac{\arcsin 2x}{\ln(e-2x)-1}= \lim_{x \to 0}\frac{\arcsin 2x}{2x}\frac{2x}{\ln(e-2x)-1}= \lim_{x \to 0}\frac{\arcsin 2x}{2x}\frac{-\frac{2x}{e}}{\ln(1+(-\frac{2x}{e}))}\times (-e)[/math]

[math]\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin 2x}{2x}=1[/math] - используя следствие из 1-го замечательного предела.

Если в решение было бы [math]\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+(-\frac{2x}{e}))}{-\frac{2x}{e}}[/math], то это тоже равно 1, по следствию из второго замечательного предела, но как быть с [math]\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{2x}{e}}{\ln(1+(-\frac{2x}{e}))}[/math]?

Как доказать, что [math]\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{2x}{e}}{\ln(1+(-\frac{2x}{e}))}=1[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как преобразовать предел?
СообщениеДобавлено: 26 дек 2016, 21:46 
Не в сети
доцент
Зарегистрирован:
03 ноя 2013, 19:19
Сообщений: 3370
Cпасибо сказано: 571
Спасибо получено:
1000 раз в 861 сообщениях
Очков репутации: 153

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Laplacian писал(а):


Как доказать, что [math]\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{2x}{e}}{\ln(1+(-\frac{2x}{e}))}=1[/math]?

Дык эквивалентность есть [math]\ln{(1+a(x))} \sim a(x)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как преобразовать предел?
СообщениеДобавлено: 26 дек 2016, 21:59 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
27 окт 2016, 13:46
Сообщений: 308
Cпасибо сказано: 123
Спасибо получено:
19 раз в 19 сообщениях
Очков репутации: 24

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
venjar, не совсем понял Ваш ответ :(

Сделал так, надеюсь что правильно:

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как преобразовать предел?
СообщениеДобавлено: 26 дек 2016, 22:44 
Не в сети
доцент
Зарегистрирован:
03 ноя 2013, 19:19
Сообщений: 3370
Cпасибо сказано: 571
Спасибо получено:
1000 раз в 861 сообщениях
Очков репутации: 153

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно и так. Просто я выписал известную эквивалентность. А при вычислении пределов в частных и произведениях можно бесконечно малые заменять на эквивалентные. Поэтому сразу можно было в пределе

[math]\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{2x}{e}}{\ln(1+(-\frac{2x}{e}))}[/math] заменить [math]\ln(1+(-\frac{2x}{e}))[/math] заменить на [math](-\frac{2x}{e})[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю venjar "Спасибо" сказали:
Laplacian
 Заголовок сообщения: Re: Как преобразовать предел?
СообщениеДобавлено: 26 дек 2016, 23:07 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
27 окт 2016, 13:46
Сообщений: 308
Cпасибо сказано: 123
Спасибо получено:
19 раз в 19 сообщениях
Очков репутации: 24

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
venjar, спасибо, забыл видимо :) Правда, потом ещё доказывать придётся... Итак всё по элементарным действиям пишу.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как преобразовать предел?
СообщениеДобавлено: 29 дек 2016, 09:46 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 11:15
Сообщений: 2720
Cпасибо сказано: 112
Спасибо получено:
837 раз в 670 сообщениях
Очков репутации: 198

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Laplacian писал(а):
Правда, потом ещё доказывать придётся...

Один раз доказал и получи в неограниченное пользование.
Если [math]\alpha, \beta\in \mathbb R[/math] и [math]g\sim h[/math] в некотором [math]\lim[/math], то [math]\lim f^\alpha g^\beta=\boxed{\lim f^\alpha h^\beta \left(\frac{g}{h}\right)^\beta}=\lim f^\alpha h^\beta[/math].
Выражение, помещённое в траурную рамку, необязательно повторять каждый раз при конкретных [math]f, g, h, \alpha, \beta.[/math]
Эта конкретика ведь может быть и весьма громоздкой.
В Вашем случае - это задача в одно действие:
[math]\lim\limits_{x\to 0}\frac{\arcsin 2x}{\ln\left(1-\frac{2x}{e}\right)}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{ 2x}{-\frac{2x}{e}}=-e.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю dr Watson "Спасибо" сказали:
Laplacian
 Заголовок сообщения: Re: Как преобразовать предел?
СообщениеДобавлено: 07 янв 2017, 21:55 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
27 окт 2016, 13:46
Сообщений: 308
Cпасибо сказано: 123
Спасибо получено:
19 раз в 19 сообщениях
Очков репутации: 24

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
dr Watson, спасибо за пояснение :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Предел функции, как преобразовать

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Anastasiad1123

3

244

25 янв 2016, 21:53

Найти предел (преобразовать и сократить)

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

DannyO

4

337

13 дек 2015, 12:48

Преобразовать y=Преобразовать y=cos(x) в полярные координаты

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

hkufa

7

269

01 авг 2022, 22:55

Преобразовать

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

tanyhaftv

1

280

12 ноя 2018, 15:00

Преобразовать

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Alexey231

0

120

11 дек 2020, 09:30

Преобразовать в ln

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Evgeshagesha

6

423

21 июл 2015, 07:07

Преобразовать

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

bartle96

1

532

29 май 2014, 16:51

Преобразовать выражение

в форуме Алгебра

OparinVD

0

139

07 июл 2023, 14:16

Преобразовать уравнение

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

blondinka

0

316

08 июн 2014, 21:42

Преобразовать уравнения

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

blondinka

0

361

03 июн 2014, 17:53


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 13


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved