Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Предел последовательности и предел функции.
СообщениеДобавлено: 18 апр 2011, 20:47 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 22:28
Сообщений: 4430
Cпасибо сказано: 565
Спасибо получено:
1075 раз в 952 сообщениях
Очков репутации: 315

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Давно возник этот вопрос, но я так до конца и не разобрался...
Следует ли из существования предела функции [math]\lim_{x \to +\infty}f(x)[/math] существование предела последовательности [math]\lim_{n \to \infty}f(n)[/math] и равенство [math]\lim_{x \to +\infty}f(x)[/math][math]=\lim_{n \to \infty}f(n)[/math]? В частности, интересует возможность "косвенного" применения правила Лопиталя для вычисления предела последовательностей. Например, вычислим [math]\lim_{n \to \infty}{\frac{\ln n }{n^2}}[/math]. Найдём соответствующий предел функции [math]\lim_{x \to +\infty}{\frac{\ln x}{x^2}}=[/math] [math]\lim_{x \to +\infty}{\frac{\frac{1}{x}}{2x}}=[/math] [math]\lim_{x \to +\infty}{\frac{1}{2x^2}}=0[/math]. Значит, [math]\lim_{n \to \infty}{\frac{\ln n }{n^2}}=0[/math].
На другом форуме мне подсказали идею доказательства: нужно использовать определение предела функции по Гейне (на языке последовательностей). Пусть существует [math]\lim_{x \to +\infty}f(x)=b[/math]. Это означает, что [math]\forall x_n[/math], такой, что [math]\lim_{n \to \infty}{x_n}=+\infty[/math], [math]\lim_{n \to \infty}{f(x_n)}=b[/math]. Нужно доказать, что [math]\forall \varepsilon>0 \ \exists k_1 \in \mathbb{N} \ \forall n>k_1 \ |f(n)-b|< \varepsilon[/math]. Это равносильно [math]\lim_{n \to \infty}f(n)=b[/math]. По определению [math]\lim_{n \to \infty}{f(x_n)}=b[/math] означает, что [math]\forall \varepsilon>0 \ \exists k_2 \in \mathbb{N} \ \forall n>k_2 \ |f(x_n)-b|< \varepsilon[/math]. Но [math]f(n)[/math] и [math]f(x_n)[/math] - это ведь не одно и то же? Что-то никак не соображу...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Предел последовательности и предел функции.
СообщениеДобавлено: 18 апр 2011, 21:09 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 22:28
Сообщений: 4430
Cпасибо сказано: 565
Спасибо получено:
1075 раз в 952 сообщениях
Очков репутации: 315

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Кажется, дошло! Мы же можем взять [math]x_n=n[/math], т.к. [math]\lim_{n \to \infty}n=+\infty[/math]. Тогда утверждение доказано. Или я неправ?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Предел последовательности и предел функции.
СообщениеДобавлено: 19 апр 2011, 18:23 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Прав :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
Ellipsoid
 Заголовок сообщения: Re: Предел последовательности и предел функции.
СообщениеДобавлено: 19 апр 2011, 19:04 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 22:28
Сообщений: 4430
Cпасибо сказано: 565
Спасибо получено:
1075 раз в 952 сообщениях
Очков репутации: 315

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop, спасибо! :Yahoo!:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Предел функции и последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

PhantomO

3

223

11 янв 2015, 17:29

Найти предел последовательности функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Ashan

2

168

28 дек 2020, 01:15

Найти предел числовой последовательности и функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

calliduss

10

840

05 ноя 2015, 18:09

Предел последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

satbek

7

604

24 сен 2015, 17:25

Предел последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

genk

5

241

25 янв 2020, 16:51

Предел последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

bikeparadise

4

1254

23 апр 2015, 11:27

Предел последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Killo1

2

351

29 сен 2016, 20:37

Предел последовательности #2

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

lockyst

1

323

01 май 2018, 16:37

Предел последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

onetwo

3

310

30 сен 2015, 20:09

Предел последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

lvhhfj

1

133

26 ноя 2018, 23:42


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 28


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved