Давно возник этот вопрос, но я так до конца и не разобрался...
Следует ли из существования предела функции
[math]\lim_{x \to +\infty}f(x)[/math] существование предела последовательности
[math]\lim_{n \to \infty}f(n)[/math] и равенство
[math]\lim_{x \to +\infty}f(x)[/math][math]=\lim_{n \to \infty}f(n)[/math]? В частности, интересует возможность "косвенного" применения правила Лопиталя для вычисления предела последовательностей. Например, вычислим
[math]\lim_{n \to \infty}{\frac{\ln n }{n^2}}[/math]. Найдём соответствующий предел функции
[math]\lim_{x \to +\infty}{\frac{\ln x}{x^2}}=[/math] [math]\lim_{x \to +\infty}{\frac{\frac{1}{x}}{2x}}=[/math] [math]\lim_{x \to +\infty}{\frac{1}{2x^2}}=0[/math]. Значит,
[math]\lim_{n \to \infty}{\frac{\ln n }{n^2}}=0[/math].
На другом форуме мне подсказали идею доказательства: нужно использовать определение предела функции по Гейне (на языке последовательностей). Пусть существует
[math]\lim_{x \to +\infty}f(x)=b[/math]. Это означает, что
[math]\forall x_n[/math], такой, что
[math]\lim_{n \to \infty}{x_n}=+\infty[/math],
[math]\lim_{n \to \infty}{f(x_n)}=b[/math]. Нужно доказать, что
[math]\forall \varepsilon>0 \ \exists k_1 \in \mathbb{N} \ \forall n>k_1 \ |f(n)-b|< \varepsilon[/math]. Это равносильно
[math]\lim_{n \to \infty}f(n)=b[/math]. По определению
[math]\lim_{n \to \infty}{f(x_n)}=b[/math] означает, что
[math]\forall \varepsilon>0 \ \exists k_2 \in \mathbb{N} \ \forall n>k_2 \ |f(x_n)-b|< \varepsilon[/math]. Но
[math]f(n)[/math] и
[math]f(x_n)[/math] - это ведь не одно и то же? Что-то никак не соображу...