Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задача на док-во сходимости
СообщениеДобавлено: 09 дек 2016, 23:58 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
09 дек 2016, 23:51
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Дана ограниченная сверху последовательность, которая удовлетворяет условию:
x[math]_{n+1}[/math]-x[math]_{n}[/math] [math]\geqslant[/math] [math]-[/math] [math]\frac{ 1 }{ 2^{n} }[/math], где n принадлежит [math]\boldsymbol{N}[/math]
Необходимо доказать ее сходимость.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на док-во сходимости
СообщениеДобавлено: 10 дек 2016, 16:43 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9421
Cпасибо сказано: 123
Спасибо получено:
1732 раз в 1640 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Начиная с некоторого [math]n[/math], п-сть [math]x_n[/math] принадлежит ограниченному отрезку. Следовательно на этом отрезке у п-сти есть предельная точка. Легко видеть, что предельная точка единственна.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на док-во сходимости
СообщениеДобавлено: 11 дек 2016, 23:10 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
09 дек 2016, 23:51
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А что делать тем, кому не легко видеть...? :cry:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на док-во сходимости
СообщениеДобавлено: 11 дек 2016, 23:51 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9421
Cпасибо сказано: 123
Спасибо получено:
1732 раз в 1640 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
. Легко видеть, что предельная точка единственна.

Commie писал(а):
А что делать тем, кому не легко видеть...?

Пробовать доказать от противного. Хотя тут дело наверное много проще. Попробуйте доказать непосредственно фундаментальность последовательности (Наверное при условии, что есть уже одна предельная точка. Сразу как-то не получается. Хотя тогда проще вернуться к первоначальной идее и доказывать единственность предельной точки).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на док-во сходимости
СообщениеДобавлено: 12 дек 2016, 01:24 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 22:28
Сообщений: 4433
Cпасибо сказано: 565
Спасибо получено:
1075 раз в 952 сообщениях
Очков репутации: 315

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Посмотрите: Бутузов, Крутицкая, Математический анализ в примерах и задачах. Там разбирается аналогичная задача.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на док-во сходимости
СообщениеДобавлено: 12 дек 2016, 11:18 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9421
Cпасибо сказано: 123
Спасибо получено:
1732 раз в 1640 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ellipsoid писал(а):
Посмотрите: Бутузов, Крутицкая, Математический анализ в примерах и задачах. Там разбирается аналогичная задача.

Не подскажете, где конкретно? Я просмотрел, не нашёл.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на док-во сходимости
СообщениеДобавлено: 12 дек 2016, 11:31 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 22:28
Сообщений: 4433
Cпасибо сказано: 565
Спасибо получено:
1075 раз в 952 сообщениях
Очков репутации: 315

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Кажется, там, где про монотонные последовательности.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на док-во сходимости
СообщениеДобавлено: 12 дек 2016, 17:24 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Любую последовательность [math]x_n[/math] можно представить в виде суммы возрастающей и убывающей последовательностей следующим образом:

[math]x_n=x_1+\sum_{k=2}^n(x_k-x_{k-1})=\underbrace{\left(x_1+\sum_{\substack{k=2\\x_k-x_{k-1}\geqslant0}}^n(x_k-x_{k-1})\right)}_{y_n}+\underbrace{\left(\sum_{\substack{k=2\\x_k-x_{k-1}<0}}^n(x_k-x_{k-1})\right)}_{z_n},\quad\forall n>1[/math]

[math]y_1=x_1,\ z_1=0[/math]

Другими словами, мы оставляем только положительные приращения, а отрицательные выделяем в отдельную последовательность.

С учетом условия легко показать, что [math]z_n[/math] ограничена снизу числом [math]-1[/math], значит [math]y_n[/math] ограничена сверху (поскольку она есть сумма ограниченных сверху [math]x_n[/math] и [math](-z_n)[/math]). Значит они обе сходятся, и значит сходится [math]x_n[/math].

Не уверен, что мое решение сильно проще предложенного searcher, но оно хотя бы позволяет взглянуть на задачу под другим углом и не копаться в эпсилон-формализме.

Ellipsoid

К сожалению, тоже не нашел. Разбираемая в параграфе о монотонных последовательностях задача, на мой взгляд, никакого отношения к теме не имеет.
Вам не трудно привести более точную ссылку?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
Commie
 Заголовок сообщения: Re: Задача на док-во сходимости
СообщениеДобавлено: 12 дек 2016, 21:09 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
09 дек 2016, 23:51
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо! Я постараюсь разобраться.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на док-во сходимости
СообщениеДобавлено: 12 дек 2016, 22:21 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Введём неотрицательную последовательность [math]\left\{{{t_n}}\right\}[/math]
такую, что
[math]{x_{n + 1}}={x_n}- \frac{1}{{{2^n}}}+{t_n}[/math].
Сложив эти равенства [math]n = 1, \cdots ,m[/math] , получим
[math]{x_{m + 1}}={x_1}- \sum\limits_{n = 1}^m{\frac{1}{{{2^n}}}}+ \sum\limits_{n = 1}^m{{t_n}}[/math].
Учитывая ограниченность последовательности [math]\left\{{{x_n}}\right\}[/math] сверху, выводим, что возрастающая последовательность сумм
[math]\sum\limits_{n = 1}^m{{t_n}}[/math]
ограничена. Поэтому по признаку Вейёрштрасса конечна сумма
[math]\sum\limits_{n = 1}^\infty{{t_n}}[/math].
Отсюда следует, что
[math]\mathop{\lim}\limits_{m \to \infty}{x_{m + 1}}={x_1}- 1 + \sum\limits_{n = 1}^\infty{{t_n}}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 10 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Определить радиус сходимости и область сходимости

в форуме Ряды

guerra

1

183

18 дек 2019, 21:27

Область сходимости

в форуме Ряды

tanyhaftv

1

129

23 дек 2019, 18:01

Область сходимости

в форуме Ряды

tanyhaftv

1

121

23 дек 2019, 20:08

Область сходимости

в форуме Ряды

tanyhaftv

3

201

24 дек 2019, 22:49

Область сходимости

в форуме Ряды

ivan-taranov

1

136

10 янв 2020, 13:03

Интервал сходимости

в форуме Ряды

distvamp

10

433

08 фев 2017, 15:08

Признак сходимости

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Ryslannn

11

536

08 дек 2017, 12:01

Область сходимости

в форуме Ряды

God_mode_2016

2

213

05 дек 2016, 21:40

Признак сходимости

в форуме Интегральное исчисление

Space

7

499

03 апр 2016, 19:03

Область сходимости

в форуме Интегральное исчисление

tanyhaftv

1

163

25 май 2019, 13:09


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved