Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 10 ] |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| Commie |
|
|
|
x[math]_{n+1}[/math]-x[math]_{n}[/math] [math]\geqslant[/math] [math]-[/math] [math]\frac{ 1 }{ 2^{n} }[/math], где n принадлежит [math]\boldsymbol{N}[/math] Необходимо доказать ее сходимость. |
||
| Вернуться к началу | ||
| searcher |
|
|
|
Начиная с некоторого [math]n[/math], п-сть [math]x_n[/math] принадлежит ограниченному отрезку. Следовательно на этом отрезке у п-сти есть предельная точка. Легко видеть, что предельная точка единственна.
|
||
| Вернуться к началу | ||
| Commie |
|
|
|
А что делать тем, кому не легко видеть...?
![]() |
||
| Вернуться к началу | ||
| searcher |
|
|
|
searcher писал(а): . Легко видеть, что предельная точка единственна. Commie писал(а): А что делать тем, кому не легко видеть...? Пробовать доказать от противного. Хотя тут дело наверное много проще. Попробуйте доказать непосредственно фундаментальность последовательности (Наверное при условии, что есть уже одна предельная точка. Сразу как-то не получается. Хотя тогда проще вернуться к первоначальной идее и доказывать единственность предельной точки). |
||
| Вернуться к началу | ||
| Ellipsoid |
|
|
|
Посмотрите: Бутузов, Крутицкая, Математический анализ в примерах и задачах. Там разбирается аналогичная задача.
|
||
| Вернуться к началу | ||
| searcher |
|
|
|
Ellipsoid писал(а): Посмотрите: Бутузов, Крутицкая, Математический анализ в примерах и задачах. Там разбирается аналогичная задача. Не подскажете, где конкретно? Я просмотрел, не нашёл. |
||
| Вернуться к началу | ||
| Ellipsoid |
|
|
|
Кажется, там, где про монотонные последовательности.
|
||
| Вернуться к началу | ||
| Human |
|
|
|
Любую последовательность [math]x_n[/math] можно представить в виде суммы возрастающей и убывающей последовательностей следующим образом:
[math]x_n=x_1+\sum_{k=2}^n(x_k-x_{k-1})=\underbrace{\left(x_1+\sum_{\substack{k=2\\x_k-x_{k-1}\geqslant0}}^n(x_k-x_{k-1})\right)}_{y_n}+\underbrace{\left(\sum_{\substack{k=2\\x_k-x_{k-1}<0}}^n(x_k-x_{k-1})\right)}_{z_n},\quad\forall n>1[/math] [math]y_1=x_1,\ z_1=0[/math] Другими словами, мы оставляем только положительные приращения, а отрицательные выделяем в отдельную последовательность. С учетом условия легко показать, что [math]z_n[/math] ограничена снизу числом [math]-1[/math], значит [math]y_n[/math] ограничена сверху (поскольку она есть сумма ограниченных сверху [math]x_n[/math] и [math](-z_n)[/math]). Значит они обе сходятся, и значит сходится [math]x_n[/math]. Не уверен, что мое решение сильно проще предложенного searcher, но оно хотя бы позволяет взглянуть на задачу под другим углом и не копаться в эпсилон-формализме. Ellipsoid К сожалению, тоже не нашел. Разбираемая в параграфе о монотонных последовательностях задача, на мой взгляд, никакого отношения к теме не имеет. Вам не трудно привести более точную ссылку? |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: Commie |
||
| Commie |
|
|
|
Спасибо! Я постараюсь разобраться.
|
||
| Вернуться к началу | ||
| Prokop |
|
|
|
Введём неотрицательную последовательность [math]\left\{{{t_n}}\right\}[/math]
такую, что [math]{x_{n + 1}}={x_n}- \frac{1}{{{2^n}}}+{t_n}[/math]. Сложив эти равенства [math]n = 1, \cdots ,m[/math] , получим [math]{x_{m + 1}}={x_1}- \sum\limits_{n = 1}^m{\frac{1}{{{2^n}}}}+ \sum\limits_{n = 1}^m{{t_n}}[/math]. Учитывая ограниченность последовательности [math]\left\{{{x_n}}\right\}[/math] сверху, выводим, что возрастающая последовательность сумм [math]\sum\limits_{n = 1}^m{{t_n}}[/math] ограничена. Поэтому по признаку Вейёрштрасса конечна сумма [math]\sum\limits_{n = 1}^\infty{{t_n}}[/math]. Отсюда следует, что [math]\mathop{\lim}\limits_{m \to \infty}{x_{m + 1}}={x_1}- 1 + \sum\limits_{n = 1}^\infty{{t_n}}[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
|
[ Сообщений: 10 ] |
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
|
Определить радиус сходимости и область сходимости
в форуме Ряды |
1 |
183 |
18 дек 2019, 21:27 |
|
|
Область сходимости
в форуме Ряды |
1 |
129 |
23 дек 2019, 18:01 |
|
|
Область сходимости
в форуме Ряды |
1 |
121 |
23 дек 2019, 20:08 |
|
|
Область сходимости
в форуме Ряды |
3 |
201 |
24 дек 2019, 22:49 |
|
|
Область сходимости
в форуме Ряды |
1 |
136 |
10 янв 2020, 13:03 |
|
|
Интервал сходимости
в форуме Ряды |
10 |
433 |
08 фев 2017, 15:08 |
|
|
Признак сходимости
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
11 |
536 |
08 дек 2017, 12:01 |
|
|
Область сходимости
в форуме Ряды |
2 |
213 |
05 дек 2016, 21:40 |
|
|
Признак сходимости
в форуме Интегральное исчисление |
7 |
499 |
03 апр 2016, 19:03 |
|
|
Область сходимости
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
163 |
25 май 2019, 13:09 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |