Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти предел натурального логарифма
СообщениеДобавлено: 28 ноя 2016, 03:15 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
19 июн 2016, 23:54
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Нужно найти следующий предел:
[math]\lim_{x \to 0}\ln{(e+x)^{\frac{ 1 }{ \operatorname{tg}{x} } } }[/math]

Как рассуждал я:
[math]\lim_{x \to 0}\frac{ \ln{(e+x)} }{ e^{x} } = 1 \Longrightarrow \ln{(e+x)} \sim e^{x}[/math]

[math]\operatorname{tg}{x} \sim x[/math]

[math]\lim_{x \to 0}(e^{x} - 1 + 1) ^{\frac{ 1 }{ x } }[/math]

[math]e^{x} - 1 \sim x \Longrightarrow \lim_{x \to 0}(1+x)^\frac{ 1 }{ x } = e[/math]
Это, соответственно, неверно. В чем подвох?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти предел натурального логарифма
СообщениеДобавлено: 28 ноя 2016, 04:06 
Не в сети
доцент
Зарегистрирован:
03 ноя 2013, 19:19
Сообщений: 3370
Cпасибо сказано: 571
Спасибо получено:
1000 раз в 861 сообщениях
Очков репутации: 153

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1. Запись
Delic писал(а):
[math]\ln{(e+x)} \sim e^{x}[/math]


некорректна, так как участвующие в ней функции не являются бесконечно малыми при х->0.

2. Бесконечно малые можно заменять на эквивалентные только в произведениях и частных.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти предел натурального логарифма
СообщениеДобавлено: 28 ноя 2016, 11:05 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
19 июн 2016, 23:54
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно ли рассуждать так:

[math]\operatorname{tg}{x} \sim x[/math]

заменим [math]\mathsf{x} = \frac{ 1 }{ t }[/math]
Тогда имеет место предел:

[math]\lim_{t \to \infty }\ln{(e+\frac{ 1 }{ t })^{\frac{ 1 }{ t } } }[/math]

Под логарифмом поделим на всё на e, получим:

[math]\lim_{t \to \infty }\ln{(1+\frac{ e^{-1} }{ t }) ^{t} } = e^{\frac{ 1 }{ e } }[/math]

Ответ, вроде, правильный, но смущает первая эквивалентность, а за ней и все последующие действия.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти предел натурального логарифма
СообщениеДобавлено: 28 ноя 2016, 12:10 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2750 раз в 2538 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если привести исходное выражение к стандартной форме [math]\lim_{x \to 0} e^{\frac{ 1 }{ tgx }lnln(e+x) }[/math], то по Лопиталю сразу получается этот интересный ответ: [math]e^{\frac{ 1 }{ e } }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти предел натурального логарифма
СообщениеДобавлено: 28 ноя 2016, 12:16 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2750 раз в 2538 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Delic писал(а):

Под логарифмом поделим на всё на e, получим:

[math]\lim_{t \to \infty }\ln{(1+\frac{ e^{-1} }{ t }) ^{t} } = e^{\frac{ 1 }{ e } }[/math]

Ответ, вроде, правильный, но смущает первая эквивалентность, а за ней и все последующие действия.

Если все разделили под логарифмом на е, то где Вы потом компенсировали это деление, да и этот ответ никак не может появиться потом справа!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Предел натурального логарифма

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Shredinger42

1

483

19 ноя 2016, 21:53

Разложение натурального логарифма в ряд Маклорена

в форуме Ряды

xoorider

0

3691

12 авг 2014, 14:41

Функция наподобие натурального логарифма

в форуме Численные методы

lunosvet

3

281

10 фев 2020, 15:46

Найти значения логарифма

в форуме Ряды

ladislaus232

6

276

18 дек 2020, 13:17

Найти значение выражения логарифма

в форуме Алгебра

Oksano4ka

0

281

30 мар 2015, 17:02

Бесконечность натурального ряда

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Elphen Lied

8

172

21 сен 2020, 11:23

Разбиения натурального N на k частей

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Volodislavir

7

445

02 июн 2017, 05:11

Выражение → квадрат натурального числа

в форуме Алгебра

Daniel_T

5

198

19 июн 2020, 06:09

Формирование натурального ряда разностями

в форуме Численные методы

atlakatl

8

442

20 янв 2019, 17:17

Суммирование знакочередующегося натурального ряда

в форуме Размышления по поводу и без

ivashenko

5

446

20 июн 2019, 00:31


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Yandex [bot] и гости: 25


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved