Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Нахождение пределов
СообщениеДобавлено: 07 дек 2015, 20:58 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
07 дек 2015, 20:51
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый день, прошу помощи с решением номеров 4 и 5 и оформлением номера 1. Понятно, что в 4 и 5 нужно перейти к эквивалентности, но не могу понять, где и как именно.
Заранее спасибо.Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нахождение пределов
СообщениеДобавлено: 07 дек 2015, 21:40 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
4. Со знаменателем ясно - это эквивалентно [math]x^3[/math].

Теперь с числителем: по формуле Тейлора:

[math]\sqrt{1+tg(x)}\sim 1+\frac x2-\frac{x^2}{8}+\frac{11x^3}{48}-\frac{47x^4}{384 }+...[/math]

[math]\sqrt{1+\sin(x)}\sim 1+\frac x2-\frac{x^2}{8}-\frac{x^3}{48}+\frac{x^4}{384 }+...[/math]

Разница до первого члена будет [math]\frac{12x^3}{48}=\frac{x^3}{4}[/math]

Отсюда сразу предел равен [math]\frac 14[/math]

Но проще так:

[math]\lim \limits_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+tg(x)}-1-(\sqrt{1+\sin(x)}-1)}{x^3}=\lim \limits_{x \to 0}\frac {\frac 12 tg(x)-\frac 12 \sin(x)}{x^3}=\frac 12 \lim \limits_{x \to 0}\frac {1-\cos (x)}{\cos(x)\cdot x^2 }=\frac 12 \lim \limits_{x \to 0}\frac {\frac{x^2}{2}}{\cos (x) \cdot x^2}=\frac 14[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нахождение пределов
СообщениеДобавлено: 07 дек 2015, 22:00 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
4. [math]\mathop{\lim}\limits_{x \to 0}\frac{{\sqrt{1 + \operatorname{tg}{\kern 1pt}x}- \sqrt{1 + \sin x}}}{{{{\sin}^3}x}}= \mathop{\lim}\limits_{x \to 0}\frac{{\operatorname{tg}{\kern 1pt}x - \sin x}}{{{{\sin}^3}x\left({\sqrt{1 + \operatorname{tg}{\kern 1pt}x}+ \sqrt{1 + \sin x}}\right)}}= \frac{1}{2}\mathop{\lim}\limits_{x \to 0}\frac{{1 - \cos x}}{{{{\sin}^2}x \cdot \cos x}}= \frac{1}{4}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нахождение пределов
СообщениеДобавлено: 07 дек 2015, 22:17 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
5).[math]\mathop{\lim}\limits_{x \to 0}{\left({\frac{{1 + x \cdot \operatorname{arctg}{\kern 1pt}x}}{{\operatorname{ch}{\kern 1pt}x}}}\right)^{\frac{1}{{t{g^2}{\kern 1pt}x}}}}= \mathop{\lim}\limits_{x \to 0}{e^{\frac{1}{{t{g^2}{\kern 1pt}x}}\ln \left({\frac{{1 + x \cdot \operatorname{arctg}{\kern 1pt}x}}{{\operatorname{ch}{\kern 1pt}x}}}\right)}}= \mathop{\lim}\limits_{x \to 0}{e^{\frac{1}{{{x^2}}}\ln \left({1 + x \cdot \operatorname{arctg}{\kern 1pt}x}\right) - \frac{1}{{{x^2}}}\ln \left({\operatorname{ch}{\kern 1pt}x}\right)}}= \mathop{\lim}\limits_{x \to 0}{e^{\frac{{x \cdot \operatorname{arctg}{\kern 1pt}x}}{{{x^2}}}- \frac{1}{{{x^2}}}\ln \left({1 + \left({\operatorname{ch}{\kern 1pt}x - 1}\right)}\right)}}= \mathop{\lim}\limits_{x \to 0}{e^{\frac{{\operatorname{arctg}{\kern 1pt}x}}{x}- \frac{{\operatorname{ch}{\kern 1pt}x - 1}}{{{x^2}}}}}= \sqrt e[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нахождение пределов
СообщениеДобавлено: 08 дек 2015, 10:11 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
07 дек 2015, 20:51
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо огромное, а помогите пожалуйста ещё и с первыми тремя

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нахождение пределов
СообщениеДобавлено: 08 дек 2015, 22:07 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1) [math]=\lim\limits_{x \to 1}\frac{(x-1)^2 \cdot \sum \limits_{k=1}^{100}k\cdot x^{100-k}}{(x-1)^2}=\sum \limits_{k=1}^{100}k=5050[/math]

3)
[math]=\lim\limits_{t\to 0}\frac{(1+3t+4t^2)^{\frac 13}-(1-3t+4t^3)^{\frac 13}}{t}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{[(1+3t+4t^2)^{\frac 13}-1]-[(1-3t+4t^3)^{\frac 13}-1]}{t}=[/math]

[math]=\lim\limits_{t\to 0}\frac{\frac 13 \cdot (3t+4t^2)-\frac 13 \cdot (4t^3-3t)}{t}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{3+4t-4t^2+3}{3}=2[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нахождение пределов
СообщениеДобавлено: 15 дек 2015, 13:52 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
07 дек 2015, 20:51
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
1) [math]=\lim\limits_{x \to 1}\frac{(x-1)^2 \cdot \sum \limits_{k=1}^{100}k\cdot x^{100-k}}{(x-1)^2}=\sum \limits_{k=1}^{100}k=5050[/math]

А откуда мы получили эту сумму?
UPD. Всё, вижу

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Нахождение пределов

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Dee

1

139

12 апр 2020, 17:14

Пара пределов

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Rising_Sun

4

414

25 апр 2014, 18:37

Решение пределов

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Sweet_blood

3

342

28 апр 2014, 19:54

Теория пределов

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

miklelll111

6

194

18 мар 2020, 18:16

Вычисление пределов

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Outlafpe

1

236

13 сен 2018, 22:31

Названия пределов

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Muviez

1

102

17 янв 2020, 13:08

Свойства пределов

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Adrianaana

4

353

20 дек 2016, 06:38

Вычисление пределов

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Sinerpushk

1

293

29 ноя 2015, 12:31

Вычисление пределов

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

SummertimeSadness

5

424

11 окт 2016, 16:29

Вычисление пределов

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Maik

6

223

20 ноя 2019, 15:28


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 36


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved