Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Вычислить предел
СообщениеДобавлено: 10 фев 2015, 18:06 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
10 фев 2015, 18:01
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите вычислить предел, пожалуйста. Никаких идей нет. lim cos cos ... cos(x), где кол-во этих косинусов стремится к бесконечности.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить предел
СообщениеДобавлено: 10 фев 2015, 18:13 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19961
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11721
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А к чему стремится [math]x[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить предел
СообщениеДобавлено: 10 фев 2015, 18:19 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
10 фев 2015, 18:01
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здесь это не указано. Тем более что это даст?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить предел
СообщениеДобавлено: 10 фев 2015, 18:32 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 10:27
Сообщений: 7856
Cпасибо сказано: 629
Спасибо получено:
7057 раз в 5487 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если [math]x[/math] неотрицательное,то приняв [math]cos(cos(...(cos(x))))=A[/math],получим [math]cos(A)=A[/math].Можно вычислять предел.
При отрицательном [math]x[/math] рассмотрите самостоятельно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить предел
СообщениеДобавлено: 10 фев 2015, 18:47 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
10 фев 2015, 18:01
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
andrei, по-моему это плохая и неверная идея

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить предел
СообщениеДобавлено: 10 фев 2015, 18:47 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 10:27
Сообщений: 7856
Cпасибо сказано: 629
Спасибо получено:
7057 раз в 5487 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Извиняюсь,при любом [math]x[/math] выходим на уравнение [math]cos(A)=A[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить предел
СообщениеДобавлено: 10 фев 2015, 18:50 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
10 фев 2015, 18:01
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
а чему равно А? Я строил график, это конечное число...0,73 примерно

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить предел
СообщениеДобавлено: 11 фев 2015, 12:48 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
По-хорошему нужно ещё доказать, что предел действительно существует, а то мало ли, получится как в случае с [math]x_{n+1}=1-x_n[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить предел
СообщениеДобавлено: 11 фев 2015, 17:13 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Задача состоит в исследовании на сходимость последовательности, заданной рекуррентно ([math]x_{n+1}=\cos x_n,\ x_1=x[/math]) при произвольном [math]x[/math]. Без ограничения общности можно считать, что [math]x\in[0;1][/math]. Действительно, второй член последовательности гарантированно лежит в [math][-1;1][/math], а третий в [math][0;1][/math], то есть считаем, что последовательность начинается с третьего члена.

Рассмотрим функцию [math]f(x)=\cos x-x[/math] на [math][0;1][/math]. Она, очевидно, строго убывает на этом отрезке, причем [math]f(0)>0,\ f(1)<0[/math], значит она имеет единственный нуль, который мы обозначим [math]A\in(0;1)[/math] (как у andrei). При этом [math]\cos x>x[/math] при [math]x\in[0;A)[/math] и [math]\cos x<x[/math] при [math]x\in(A;1][/math].

Рассмотрим подпоследовательность исходной последовательности с нечетными номерами ([math]x_{2n+1}=\cos\cos x_{2n-1}[/math]) и исследуем её на сходимость. Покажем сначала, что если [math]x_{2n-1}\in[0;A)[/math], то и [math]x_{2n+1}\in[0;A)[/math] (и обратно, если [math]x_{2n-1}\in(A;1][/math], то и [math]x_{2n+1}\in(A;1][/math]). Действительно, косинус строго убывает на [math][0;A)[/math], поэтому этот полуинтервал он переводит в [math](\cos A;1][/math], а [math]\cos A=A[/math]. Аналогично дополнительное применение косинуса переводит последний интервал в [math][\cos 1;A)\subset[0;A)[/math], ч. и т. д. Рассмотрим теперь функцию [math]g(x)=\cos\cos x-x[/math]. Её производная [math]g'(x)=\sin\cos x\sin x-1\leqslant0[/math], значит она строго убывает на [math][0;1][/math], причем [math]g(0)>0,\ g(1)<0[/math], значит она имеет единственный нуль, который, очевидно, и есть [math]A[/math]. При этом [math]\cos\cos x>x[/math] при [math]x\in[0;A)[/math] и [math]\cos\cos x<x[/math] при [math]x\in(A;1][/math]. Таким образом, если [math]x\in[0;A)[/math], то и [math]x_{2n-1}\in[0;A)[/math] при всех [math]n[/math], а значит [math]x_{2n+1}-x_{2n-1}=\cos\cos x_{2n-1}-x_{2n-1}>0[/math], то есть последовательность [math]x_{2n-1}[/math] монотонно возрастает, а поскольку она ограничена сверху единицей, то по теореме Вейерштрасса она сходится. Аналогично при [math]x\in(A;1][/math] эта последовательность монотонно убывает и в силу ограниченности снизу нулем также сходится. Для нахождения самого предела необходимо перейти к пределу в рекуррентном соотношении, после чего будет получено уравнение [math]x=\cos\cos x[/math], которое, как уже было сказано ранее, имеет единственное решение, равное [math]A[/math]. Случай [math]x=A[/math] тривиален.

Абсолютно аналогично доказывается, что и подпоследовательность с четными номерами сходится к [math]A[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
Sasha448
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Вычислить предел выражения, используя 1 замечательный предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

syncedzz

7

377

13 окт 2022, 15:55

Вычислить предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

md_house

1

213

25 дек 2017, 12:58

Вычислить предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

md_house

3

190

25 дек 2017, 10:37

Вычислить предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Savinskaya_slavs

1

77

16 дек 2019, 15:39

Вычислить предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

md_house

2

143

24 дек 2017, 22:00

Вычислить предел и еще

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

toxa08116

1

312

15 янв 2015, 06:53

Вычислить предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

vladian

2

440

14 дек 2014, 21:02

Вычислить предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

351w

5

190

06 янв 2019, 14:11

Вычислить предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Andrey82

22

473

05 июл 2020, 15:30

Вычислить предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

matema+tika

3

185

02 июл 2020, 15:21


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 30


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
cron

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved