Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 9 ] |
|
| Автор | Сообщение | ||
|---|---|---|---|
| iLoveSkA |
|
||
|
Добрый день. Пытаюсь решить сей предел, используя замечательные пределы, но это оказалось не так просто, как хотелось бы. Сам пример: [math]\lim_{x \to 0} \frac{x^{2} * \operatorname{ctg}{x} }{\sin{x}}[/math] Понятно, что можно расписать ctg как отношение косинуса к синусу и вынести из знаменателя sin(x) как 1/sin(x), но вот куда двигаться дальше - не могу понять. Может я упускаю из вида какое либо правило? |
|||
| Вернуться к началу | |||
| victor1111 |
|
|
|
iLoveSkA писал(а): Уважаемые форумчане, Добрый день. Пытаюсь решить сей предел, используя замечательные пределы, но это оказалось не так просто, как хотелось бы. Сам пример: [math]\lim_{x \to 0} \frac{x^{2} * \operatorname{ctg}{x} }{\sin{x}}[/math] Понятно, что можно расписать ctg как отношение косинуса к синусу и вынести из знаменателя sin(x) как 1/sin(x), но вот куда двигаться дальше - не могу понять. Может я упускаю из вида какое либо правило? Известно, что lim sinx/x=1 при x->0. |
||
| Вернуться к началу | ||
| iLoveSkA |
|
||
|
Действительно, известно, вот только куда мы можем это применить здесь, я пока не смог увидеть.
Ведь все возможные синусы, что имеются у нас в этом примере, находятся в знаменателях. |
|||
| Вернуться к началу | |||
| victor1111 |
|
|
|
iLoveSkA писал(а): Действительно, известно, вот только куда мы можем это применить здесь, я пока не смог увидеть. Ведь все возможные синусы, что имеются у нас в этом примере, находятся в знаменателях. Из числителя перенесите один x в знаменатель. Получим sinx/x. |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю victor1111 "Спасибо" сказали: iLoveSkA |
||
| iLoveSkA |
|
||
|
Ну, т.е. это фактически нужно домножить числитель и знаменатель дроби на 1/x, я вас правильно понимаю?
В таком случае у нас останется только x * ctg(x) и т.к. первый множитель будет стремиться к нулю, мы делаем вывод, что предел равен 0. Верный вывод или нельзя просто так игнорировать значение, к которому стремится ctg(x)? Может необходимо расписать ctg(x) как отношение cos/sin и потом ещё раз помножить оставшееся выражение на 1/x? получим lim cos(x) x->0 |
|||
| Вернуться к началу | |||
| За это сообщение пользователю iLoveSkA "Спасибо" сказали: victor1111 |
|||
| Yurik |
|
||
|
Распишите так.
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}\operatorname{ctg} x}}{{\sin x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{\sin x}}\frac{x}{{\sin x}}\cos x = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1[/math] |
|||
| Вернуться к началу | |||
| За это сообщение пользователю Yurik "Спасибо" сказали: iLoveSkA |
|||
| iLoveSkA |
|
|
|
Yurik писал(а): Распишите так. [math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}\operatorname{ctg} x}}{{\sin x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{\sin x}}\frac{x}{{\sin x}}\cos x = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1[/math] В вашем решении, как я понимаю, мы также превращаем x / sin(x) в [math]\frac{ 1 }{ \frac{ \sin{x} }{ x } }[/math]. Моё предположение верно? Простите за дотошность, просто в первую очередь хочу реально осознать решение, а не просто его получить ![]() |
||
| Вернуться к началу | ||
| Yurik |
|
||
|
iLoveSkA писал(а): Моё предположение верно? Да, верно. |
|||
| Вернуться к началу | |||
| За это сообщение пользователю Yurik "Спасибо" сказали: iLoveSkA |
|||
| iLoveSkA |
|
|
|
Большое спасибо!
В таком случае, подведу итог возможных решений: 1) Yurik писал(а): [math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}\operatorname{ctg} x}}{{\sin x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{\sin x}}\frac{x}{{\sin x}}\cos x = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1[/math] 2)[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}\operatorname{ctg} x}}{{\sin x}} = *[/math] Домнажаем числитель и знаменатель на 1/x Получаем: [math]* = \lim_{x \to 0} x*\operatorname{ctg}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{ x * \cos{x} }{ \sin{x} } = *[/math] Это также домнажаем на 1/x, получим: [math]* = \lim_{x \to 0} \cos{x} = 1[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
|
[ Сообщений: 9 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |