Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Полное Исследование функции реш
СообщениеДобавлено: 21 апр 2014, 23:50 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
21 апр 2014, 23:19
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
y= [math]\frac{ \sqrt[3]{(x-1)^{2} } }{x^{2} + 1 }[/math]

y= [math]\frac{ x^{2} +2x }{ x-1 }[/math]

y= [math]\mathsf{e} ^{\frac{ 2x }{ 1-x^{2} } }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Полное Исследование функции реш
СообщениеДобавлено: 22 апр 2014, 06:28 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22360
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2110
Спасибо получено:
4978 раз в 4650 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
dusha, можем начать. Рассмотрим первую функцию. Какова её область определения?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Полное Исследование функции реш
СообщениеДобавлено: 22 апр 2014, 07:51 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13571
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1293
Спасибо получено:
3625 раз в 3182 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
2. Эта функция интересна наклонной асимптотой. Выразим ее в виде линейной функции

[math]y=kx+b[/math]

[math]k=\lim \limits_{x \to \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=\lim \limits_{x \to \pm \infty}\frac{x^2+2x}{x(x-1)}= \lim \limits_{x \to \pm \infty}\frac{x+2}{x-1}=1[/math]

[math]b=\lim \limits_{x \to \pm \infty} f(x)-kx=\lim \limits_{x \to \pm \infty}\frac{x^2+2x}{x-1}-x=\lim \limits_{x \to \pm \infty}\frac{3x}{x-1}=3[/math]

Наклонная асимптота есть и ее вид: [math]y=x+3[/math]

Вертикальная асимптота ясна из знаменателя исходника: [math]x=1[/math]

Теперь точки экстремума: [math]y'=\frac{x^2-2x-2}{(x-1)^2}=0[/math]

[math]x^2-2x-2=0\, ; \quad x_{1,2}=1\pm \sqrt{3}[/math]

Тогда :

[math]y_{max}=4-2\sqrt{3}\approx 0.539\quad[/math] при [math]x=1-\sqrt{3}\approx -0.732[/math]

[math]y_{min}=4+2\sqrt{3}\approx 7.464\quad[/math] при [math]x=1+\sqrt{3}\approx 2.732[/math]

Вторая производная [math]y''=\frac{6}{(x-1)^3}[/math]

Она не может быть равна нулю, поэтому точек перегиба нет

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Полное Исследование функции реш
СообщениеДобавлено: 22 апр 2014, 12:27 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13571
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1293
Спасибо получено:
3625 раз в 3182 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1. Очень интересная и замысловатая функция. Один корень [math]x=1[/math]
Найдем экстремумы:

[math]y'=-\frac{2x^2-3x-1}{3\sqrt[3]{x-1}(x^2+1)^2}=0[/math]

[math]2x^2-3x-1=0 \, ; \quad x_1=\frac 14 \big (3-\sqrt{17} \big )\approx -0.281 \, ; \quad x_2=\frac 14 \big (3+\sqrt{17} \big )\approx 1.781[/math]

Точки перегиба ищутся по второй производной:

[math]y''=\frac{4(x^2-3x+1)(7x^2-5)}{9\sqrt[3]{(x-1)^4}(x^2+1)^3}=0[/math]

[math](x^2-3x+1)(7x^2-5)=0[/math]

[math]x_1=-\sqrt{\frac 57}\approx -0.845[/math]

[math]x_2=\sqrt{\frac 57}\approx 0.845[/math]

[math]x_3=\frac 12 \big ( 3-\sqrt{5}\big )\approx 0.382[/math]

[math]x_4=\frac 12 \big ( 3+\sqrt{5}\big )\approx 2.618[/math]

Вертикальных асимптот нет, наклонных тоже. Есть только горизонтальная - ось OX. На втором рисунке дан более крупно элемент кривой с двумя точками перегиба:

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
dusha
 Заголовок сообщения: Re: Полное Исследование функции реш
СообщениеДобавлено: 23 апр 2014, 02:36 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13571
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1293
Спасибо получено:
3625 раз в 3182 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3. У этой строго положительной функции экстремумов и точек перегиба нет. Есть только две вертикальные и одна горизонтальная асимптоты. Горизонтальная [math]y=1[/math] устанавливается при помощи предела (см. ниже рисунка). Вертикальные - это разрывы. Корней нет - есть только особые точки [math]x=\pm 1[/math]

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Полное Исследование функции реш
СообщениеДобавлено: 28 апр 2014, 12:50 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6004
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3158 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
3. У этой строго положительной функции экстремумов и точек перегиба нет

Минимум есть - аж в двух точках достигается, они у Вас отмечены на графике :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Полное исследование функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

winchesterxx23

4

285

20 фев 2017, 21:18

Полное исследование функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

sahafarik

1

243

01 ноя 2016, 21:29

Полное исследование функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

vlaste

6

584

10 апр 2016, 06:56

Полное исследование функции (мат.анализ)

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Inuictum

10

349

28 окт 2018, 13:36

Провести полное исследование функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Alekszh898

1

165

19 дек 2018, 19:43

Провести полное исследование функции

в форуме Дифференциальное исчисление

Myxomop

3

216

14 дек 2022, 19:11

Провести полное исследование функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Novel7

1

218

23 окт 2016, 00:43

Провести полное исследование функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

maks2019

4

215

28 ноя 2018, 21:21

Провести полное исследование функции и построить график

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Den4iken

4

472

26 дек 2015, 06:23

Провести полное исследование функции и построить его график

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Malin

1

165

25 фев 2021, 23:38


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved