Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Пользуясь определением предела функции в точке
СообщениеДобавлено: 17 мар 2014, 17:33 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
17 мар 2014, 17:18
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброго времени суток , все эти непонятные пределы , если не трудно , подайте идею решения , буду очень благодарен.
Пользуясь определением предела функции в точке,доказать:
Lim(2x-1)=3 при x->2
Ну, не хочется наглеть, но с этим тоже:
Lim((x^2-1)/(x-1))=2 при x->1
Заранее спасибо

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Пользуясь определением предела функции в точке
СообщениеДобавлено: 19 мар 2014, 10:48 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
26 янв 2014, 16:58
Сообщений: 2657
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
538 раз в 525 сообщениях
Очков репутации: 120

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Цитата:
Lim((x^2-1)/(x-1))=2 при x->1



Упростите числитель по формуле разности квадратов.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Пользуясь определением предела функции в точке
СообщениеДобавлено: 19 мар 2014, 15:17 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
19 дек 2011, 16:09
Сообщений: 68
Cпасибо сказано: 31
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Apol
У Вас 2 выражения:
[math]\lim_{x \to 2}\ (2x-1)=3[/math] и [math]\lim_{x \to 1}\ (x+1)=2[/math]
Второе упрощено, как советовал Radley.
В первом случае, если [math]x \to 2[/math], то [math]2x \to 4[/math], а [math]f(x) \to 3[/math], т. е. [math](2x-1) \to 3[/math]
Далее в соответствии с определением предела функции в точке. Поскольку [math](2x-1)[/math] стремится к [math]3[/math], то [math]\lvert (2x-1)-3\rvert \to 0[/math], т. е. [math]\lvert (2x-1)-3\rvert[/math] меньше любого сколь угодно малого положительного числа [math]\varepsilon[/math]
Тогда [math]\lvert 2x-4\rvert< \varepsilon[/math] и [math]\lvert x-2\rvert < \frac{\varepsilon}{2}[/math]
Таким образом, для любого [math]\varepsilon >0[/math] найдётся такое число [math]\delta =\frac{\varepsilon}{2}[/math], что для всех [math]x[/math], не равных [math]2[/math], удовлетворяющих условию [math]\lvert x-2\rvert < \delta[/math], верно неравенство [math]\lvert f(x) -3\rvert <\varepsilon[/math], где [math]f(x)=(2x-1)[/math], что как раз и означает [math]\lim_{x \to 2}\ (2x-1)=3[/math]
Т. о. если [math]x[/math] стремится к [math]2[/math], то [math]f(x)[/math] стремится к [math]3[/math].
Второй пример аналогичен.

Сам по себе смысл определения предела функции [math]f(x)[/math] в точке [math]x_0[/math] в том, что для всех значений [math]x[/math], достаточно близких к [math]x_0[/math] (разность между [math]x[/math] и [math]x_0[/math] меньше любого как угодно малого положительного числа [math]\delta[/math]), значения функции как угодно мало (меньше любого сколь угодно малого положительного числа [math]\varepsilon[/math]) отличаются (по абсолютной величине) от числа, именуемого пределом функции. Он и "пределом" является потому, что значения функции не могут быть по модулю больше его и лишь как угодно близко приближаются к его значению (разумеется, при [math]x[/math], приближающемся к значению [math]x_0[/math], т. е. данной точки).
Удобно также представить это на графике (его легко найти в Гугле). Если [math]x[/math] на оси абсцисс находится в [math]\delta[/math]-окрестности точки [math]x_0[/math], то [math]y[/math] на оси ординат - в [math]\varepsilon[/math] - окрестности точки [math]A[/math], т. е. своего предела. "Окрестность" - это и справа и слева (сверху и снизу) от [math]x_0[/math] (или предела [math]A[/math] соответственно). Поэтому значения меньше именно по абсолютной величине.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Пользуясь определением предела, доказать равенство

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Dodeca

1

154

08 янв 2020, 21:51

Доказать равенства,пользуясь определением предела

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Devilsnow

1

1085

03 дек 2014, 19:12

Понятие предела функции в точке

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Vantabu

4

200

16 апр 2019, 21:49

Определение предела функции в точке

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Truskr

2

304

31 авг 2018, 15:46

Пользуясь определением равных матриц записать ответ

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Linux_Gamer

4

130

13 дек 2020, 18:05

Доказать, что указанная функция не имеет предела в точке

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

NNNNN

1

486

25 янв 2017, 15:40

Найти градиент функции в точке А и производную этой функции

в форуме Векторный анализ и Теория поля

ollunya

2

2202

07 апр 2014, 08:15

Непрерывность функции в точке

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

BENEDIKT

2

200

14 апр 2017, 13:12

Непрерывность функции в точке

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

351w

3

219

16 ноя 2019, 10:46

Значение функции в точке

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

tvtv_23

4

114

05 ноя 2020, 10:21


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 24


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved