Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Жуткие доказательства пределов с факториалами
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=31451
Страница 1 из 1

Автор:  DeusEx [ 07 мар 2014, 17:50 ]
Заголовок сообщения:  Жуткие доказательства пределов с факториалами

Всем доброго времени суток! Есть следующие пределы, нужно их доказать. Вроде как навскидку можно сказать, что факториал растёт быстрее любой функции, тогда почему двойной факториал оказывается растёт медленнее степенной функции? Он же наоборот должен ещё быстрее расти? Всем спасибо, кто поможет разобраться!Изображение

Автор:  dobby [ 07 мар 2014, 18:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Жуткие доказательства пределов с факториалами

[math]1.\ \int\limits_{1}^{2n}\ln{x}dx<\ln{1}+\ln{2}+...+\ln{2n}=\ln{(2n)!}\ \iff \ 2n\ln{2n}-2n+1<\ln{(2n)!}\ \Longrightarrow \ (2n)^{2n}e^{-2n+1} <(2n!)\ .[/math]
Таким образом, [math]0<a_{n}<\frac{ n^{n} }{ (2n)^{2n}e^{-2n+1} }\ \Longrightarrow \ 0 \leqslant \lim_{n \to \infty }a_{n} \leqslant \lim_{n \to \infty }\frac{ n^{n} }{ (2n)^{2n}e^{-2n+1} }=0.[/math]

Автор:  DeusEx [ 07 мар 2014, 18:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Жуткие доказательства пределов с факториалами

Спасибо) выглядит устрашающе, попытаюсь разобраться!)
Вот откуда, например, взялось то, что Изображение
Откуда взялся факториал? Или это какое-нибудь свойство? )

Автор:  dobby [ 07 мар 2014, 19:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Жуткие доказательства пределов с факториалами

Цитата:
Или это какое-нибудь свойство? )

DeusEx да, так и есть. Повторите свойства логарифмов.

Автор:  lelius [ 07 мар 2014, 21:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Жуткие доказательства пределов с факториалами

Здравствуйте,

Я хотел бы предложить своё доказательства пользуясь монотонностью последовательностей:

[math]x_{n}=\frac{ n^n }{ (2n)! }[/math]; [math]\frac{ x_{n+1} }{ x_{n} }=\frac{ \frac{ (n+1)^{n+1} }{ (2n+2)! } }{ \frac{ n^n }{ (2n)!} }=(1+\frac{1}{n})^n*\frac{1}{2(2n+1)} \to e*0=0[/math]

Тогда предположим что [math]\lim\;x_{n}=a[/math]:

[math]x_{n+1}=(1+\frac{1}{n})^n*\frac{1}{2(2n+1)}*x_n \to a=0*a \Rightarrow a=0[/math]

В итоге [math]\lim\;x_{n}=0[/math] то есть [math]\lim\;\frac{ n^n }{ (2n)! }=0[/math]

Доказано.

Простите если наделал грамматических ошибок. :)

Автор:  dobby [ 07 мар 2014, 21:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Жуткие доказательства пределов с факториалами

lelius да, можно и так. Хотя, стремление к нулю отношения уже говорит о том, что ряд, составленный из [math]a_{n},[/math] сходится(признак Даламбера); следовательно общий член ряда стремится к нулю.
Однако, переход к рекуррентному тоже хорошо. :)

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/