Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
Жуткие доказательства пределов с факториалами http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=31451 |
Страница 1 из 1 |
Автор: | dobby [ 07 мар 2014, 18:12 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Жуткие доказательства пределов с факториалами |
[math]1.\ \int\limits_{1}^{2n}\ln{x}dx<\ln{1}+\ln{2}+...+\ln{2n}=\ln{(2n)!}\ \iff \ 2n\ln{2n}-2n+1<\ln{(2n)!}\ \Longrightarrow \ (2n)^{2n}e^{-2n+1} <(2n!)\ .[/math] Таким образом, [math]0<a_{n}<\frac{ n^{n} }{ (2n)^{2n}e^{-2n+1} }\ \Longrightarrow \ 0 \leqslant \lim_{n \to \infty }a_{n} \leqslant \lim_{n \to \infty }\frac{ n^{n} }{ (2n)^{2n}e^{-2n+1} }=0.[/math] |
Автор: | dobby [ 07 мар 2014, 19:55 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Жуткие доказательства пределов с факториалами |
Цитата: Или это какое-нибудь свойство? ) DeusEx да, так и есть. Повторите свойства логарифмов. |
Автор: | lelius [ 07 мар 2014, 21:38 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Жуткие доказательства пределов с факториалами |
Здравствуйте, Я хотел бы предложить своё доказательства пользуясь монотонностью последовательностей: [math]x_{n}=\frac{ n^n }{ (2n)! }[/math]; [math]\frac{ x_{n+1} }{ x_{n} }=\frac{ \frac{ (n+1)^{n+1} }{ (2n+2)! } }{ \frac{ n^n }{ (2n)!} }=(1+\frac{1}{n})^n*\frac{1}{2(2n+1)} \to e*0=0[/math] Тогда предположим что [math]\lim\;x_{n}=a[/math]: [math]x_{n+1}=(1+\frac{1}{n})^n*\frac{1}{2(2n+1)}*x_n \to a=0*a \Rightarrow a=0[/math] В итоге [math]\lim\;x_{n}=0[/math] то есть [math]\lim\;\frac{ n^n }{ (2n)! }=0[/math] Доказано. Простите если наделал грамматических ошибок. |
Автор: | dobby [ 07 мар 2014, 21:44 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Жуткие доказательства пределов с факториалами |
lelius да, можно и так. Хотя, стремление к нулю отношения уже говорит о том, что ряд, составленный из [math]a_{n},[/math] сходится(признак Даламбера); следовательно общий член ряда стремится к нулю. Однако, переход к рекуррентному тоже хорошо. |
Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |