Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Исследование непрерывности функции заданной неявно
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=27771
Страница 1 из 2

Автор:  Aledio [ 13 ноя 2013, 13:00 ]
Заголовок сообщения:  Исследование непрерывности функции заданной неявно

Доброго времени суток участникам форума. Стоит задача исследовать на непрерывность некоторые функции. Те примеры, в которых подходящие точки для исследования были видны явно (обращали знаменатель в ноль) я решил. Осталось три примера, в которых не очень понятно даже с чего начинать.
Первая функция смущает тем, что она задана неявно. Идей как с ней работать нет вообще.
По второй функции построил график в Маткаде (прикрепляю его скрин) и ужаснулся. Откуда взялись те точки разрыва не пойму.
Третья функция - тоже не понятно какие точки взять в качестве "подозрительных" для проверки на разрыв.
Был бы благодарен за подсказки хотя бы с чего начать. Заранее спасибо.

Вложения:
Graphik.png
Graphik.png [ 5.78 Кб | Просмотров: 1410 ]
Funkcii.jpg
Funkcii.jpg [ 5.97 Кб | Просмотров: 1396 ]

Автор:  mad_math [ 13 ноя 2013, 14:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование непрерывности функции заданной неявно

Aledio писал(а):
Первая функция смущает тем, что она задана неявно. Идей как с ней работать нет вообще.
Можно попробовать выразить [math]x[/math] и исследовать функцию [math]x=f(y)[/math]

Aledio писал(а):
По второй функции построил график в Маткаде (прикрепляю его скрин) и ужаснулся. Откуда взялись те точки разрыва не пойму.
Потому что по договорённости основание показательной функции всегда положительно.

Автор:  Alexander N [ 13 ноя 2013, 14:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование непрерывности функции заданной неявно

2) Вторую функцию можно еще представить в виде [math]y=e^{x ln|cos(x)|}[/math] кажется.

3) Третья [math]y=2xe^{-x}[/math] абсолютно непрерывна и обращается в бесконечность только при минус бесконечности.

Автор:  Aledio [ 13 ноя 2013, 19:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование непрерывности функции заданной неявно

Цитата:
Можно попробовать выразить x и исследовать функцию x=f(y)

Не очень понял, что это даст. По условию нужно найти точку разрыва x. Даже если найти точку разрыва по y, то аналитически перейти от этой точки разрыва к точке разрыва по х я пока не вижу как.
Цитата:
Потому что по договорённости основание показательной функции всегда положительно.

Спасибо, это дельное замечание и оно упрощает задачу.
Цитата:
2) Вторую функцию можно еще представить в виде y=e^{x ln|cos(x)|} кажется.

3) Третья y=2xe^{-x} абсолютно непрерывна и обращается в бесконечность только при минус бесконечности.

Спасибо за отклик.

Автор:  mad_math [ 13 ноя 2013, 19:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование непрерывности функции заданной неявно

Aledio писал(а):
Не очень понял, что это даст.
Можно найти предел полученной функции на бесконечности. Если он получится равен числу, то это будет разрыв второго рода.

Автор:  Aledio [ 22 ноя 2013, 13:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование непрерывности функции заданной неявно

mad_math писал(а):
Aledio писал(а):
Не очень понял, что это даст.
Можно найти предел полученной функции на бесконечности. Если он получится равен числу, то это будет разрыв второго рода.

Получилось следующее:
x/y=tg(ln(y))
x=y*tg(ln(y))
На сколько я понял нужно взять предел правой части уравнения при y стремится к бесконечности. Натуральный логарифм бесконечности по идее бесконечность. Тангенс бесконечности не определен. Опять тупик.

Автор:  Yurik [ 22 ноя 2013, 13:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование непрерывности функции заданной неявно

[math]\begin{gathered} \ln y = arctg\left( {\frac{x}{y}} \right)\,\, = > \,\,y > 0 \hfill \\ y = \exp \left( {arctg\left( {\frac{x}{y}} \right)} \right) \hfill \\ \end{gathered}[/math]
Отсюда следует непрерывность [math]y[/math] при любых [math]x[/math].
Разве не так?

Автор:  mad_math [ 22 ноя 2013, 14:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование непрерывности функции заданной неявно

Aledio писал(а):
Получилось следующее:
x/y=tg(ln(y))
x=y*tg(ln(y))
На сколько я понял нужно взять предел правой части уравнения при y стремится к бесконечности. Натуральный логарифм бесконечности по идее бесконечность. Тангенс бесконечности не определен. Опять тупик.
Да. Фигня получается.

Yurik писал(а):
[math]\begin{gathered} \ln y = arctg\left( {\frac{x}{y}} \right)\,\, = > \,\,y > 0 \hfill \\ y = \exp \left( {arctg\left( {\frac{x}{y}} \right)} \right) \hfill \\ \end{gathered}[/math]
Отсюда следует непрерывность [math]y[/math] при любых [math]x[/math].
Разве не так?
Да. Если основываться на свойствах элементарных функций, то и арктангенс, и логарифм, и экспонента непрерывны на всей области определения (и наверно можно даже бес потенцирования обойтись).

Автор:  Human [ 22 ноя 2013, 15:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование непрерывности функции заданной неявно

mad_math писал(а):
Yurik писал(а):
[math]\begin{gathered} \ln y = arctg\left( {\frac{x}{y}} \right)\,\, = > \,\,y > 0 \hfill \\ y = \exp \left( {arctg\left( {\frac{x}{y}} \right)} \right) \hfill \\ \end{gathered}[/math]
Отсюда следует непрерывность [math]y[/math] при любых [math]x[/math].
Разве не так?
Да. Если основываться на свойствах элементарных функций, то и арктангенс, и логарифм, и экспонента непрерывны на всей области определения (и наверно можно даже бес потенцирования обойтись).


Разве?

Пусть, скажем, [math]y=y^2[/math]. Тогда, скажем, функция [math]y=\left\{\begin{gathered}1,\ x\geqslant0\\0,\ x<0\end{gathered}\right.[/math] удовлетворяет равенству, но разрывна.

Автор:  Yurik [ 22 ноя 2013, 15:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование непрерывности функции заданной неявно

Human
Я же совсем не о том говорил, [math]y>0[/math], как аргумент логарифма.

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/