Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Предел функций
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=27014
Страница 1 из 1

Автор:  Nana11111 [ 20 окт 2013, 19:11 ]
Заголовок сообщения:  Предел функций

Пожалуйста, объясните, каким образом можно решить следующие примеры. Задания из Демидовича.

Вложения:
.png
.png [ 4.56 Кб | Просмотров: 411 ]
.png
.png [ 2.85 Кб | Просмотров: 388 ]

Автор:  Ellipsoid [ 20 окт 2013, 20:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел функций

Способ №1.

[math]y=x-a \ \Rightarrow ' x=y+a; \ x \to a \Rightarrow \ y \to 0[/math]

[math]\lim_{x \to a} \frac{\sin x - \sin a}{x-a}=\lim_{y \to 0} \frac{\sin (y+a) - \sin a}{y}=\lim_{y \to 0} \frac{\sin y \cos a + \sin a \cos y -\sin a}{y}=[/math] [math]\cos a \lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y}+ \sin a \lim_{y \to 0}\frac{\cos y -1}{y}=[/math] [math]\cos a \lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y}- 2\sin a \lim_{y \to 0}\frac{\sin^2 \left( \frac{y}{2} \right) \cdot \frac{y}{4}}{\frac{y^2}{4}}=\cos a[/math]

Способ №2.

[math]\lim_{x \to a} \frac{\sin x - \sin a}{x-a}=\lim_{x \to a} \frac{(\sin x - \sin a)'}{(x-a)'}=\lim_{x \to a} \cos x=\cos a[/math]

Автор:  Nana11111 [ 20 окт 2013, 20:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел функций

[quote="Ellipsoid"]Способ №1.

[math]y=x-a \ \Rightarrow ' x=y+a; \ x \to a \Rightarrow \ y \to 0[/math]

Огромное спасибо!
Если не трудно, напишите, пожалуйста, почему допустима такая подстановка. Получается мы представляем первоначальную функцию в виде суммы бесконечно малой функции y и предельной точки а. Какая-либо теорема (или это вытекает из определения? я не могу увидеть) объясняет это действие?

Автор:  Wersel [ 20 окт 2013, 20:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел функций

А какая подстановка может быть недопустима?

Автор:  Nana11111 [ 20 окт 2013, 20:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел функций

Wersel писал(а):
А какая подстановка может быть недопустима?

К сожалению, я не знаю.

Автор:  Ellipsoid [ 20 окт 2013, 20:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел функций

Nana11111 писал(а):
почему допустима такая подстановка


Чтобы можно было использовать первый замечательный предел.

Автор:  Wersel [ 20 окт 2013, 23:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел функций

Допустима любая, вопрос в том, нужна ли она нам.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/