Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти пределы,если они существуют
СообщениеДобавлено: 22 сен 2013, 14:38 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
14 сен 2013, 20:52
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти пределы,если они существуют
СообщениеДобавлено: 22 сен 2013, 15:48 
Не в сети
Гений
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 авг 2011, 00:18
Сообщений: 575
Откуда: Краков, Польша
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
576 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 265

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
5) Примените формулу [math]a-b=\frac{a^2-b^2}{a+b}[/math]

6) Используя первый замечательный предел [math]\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1[/math]или правило Лопитала легко доказать, что [math]\lim_{x\to 0}\frac{\arcsin x}{x}=1[/math]. Этот предел нам пригодится.

По формуле [math]\tan\alpha -\tan\beta= \frac{\sin(\alpha -\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}[/math] получаем

[math]\frac{\tan 8x^2-\tan 3x^2}{x\arcsin(3x^2+2x)}= \frac{1}{\cos(8x^2)\cos(3x^2)}\frac{\sin(5x^2)}{x\arcsin(3x^2+2x)}=\ldots[/math]

Теперь умножаем числитель и знаменатель на [math]5x(3x^2+2x)[/math]

[math]\ldots = \frac{1}{\cos(8x^2)\cos(3x^2)} \frac{\sin(5x^2)}{5x^2}\frac{3x^2+2x}{\arcsin(3x^2+2x)}\frac{5x}{3x^2+2x}.[/math]


Так как

[math]\lim_{x\to 0}\frac{1}{\cos(8x^2)\cos(3x^2)}=1[/math]

[math]\lim_{x\to 0}\frac{\sin(5x^2)}{5x^2}=1[/math]

[math]\lim_{x\to 0}\frac{3x^2+2x}{\arcsin(3x^2+2x)}=1[/math]

[math]\lim_{x\to 0}\frac{5x}{3x^2+2x}=\lim_{x\to 0}\frac{5}{3x+2}=\frac{5}{2}[/math]

то

[math]\lim_{x\to 0}\frac{\tan 8x^2-\tan 3x^2}{x\arcsin(3x^2+2x)}= 1\cdot 1\cdot 1 \cdot\frac{5}{2}=\frac{5}{2}[/math]


7) По формуле [math]1+\tan^2x=\frac{1}{\cos^2x}[/math] имеем

[math]\frac{x\sin x}{1+\tan^2x-\cos x}=\frac{x\sin x}{\frac{1}{\cos^2x}-\cos x}=\frac{x\cos^2x\;\sin x}{1-\cos^3 x} =\ldots[/math]


[math](a^3-b^3)=(a-b)(a^2+ab+b^2)[/math]

[math]\ldots = \frac{x\cos^2x\;\sin x}{(1-\cos x)(1+\cos x+\cos^2x)}=\frac{\cos^2x}{1+\cos x+\cos^2x}\frac{\sin x}{x} \frac{x^2}{1-\cos x}[/math]


Так как

[math]\lim_{x\to 0}\frac{\cos^2x}{1+\cos x+\cos^2x}=\frac{1}{3}[/math]

[math]\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1[/math]

[math]\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{1-\cos x}=\lim_{x\to 0}\frac{x^2(1+\cos x)}{1-\cos^2 x}= \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{\sin^2 x}(1+\cos x)=1\cdot 2=2[/math]


то

[math]\lim_{x\to 0}\frac{x\sin x}{1+\tan^2x-\cos x}= \frac{1}{3}\cdot 1\cdot 2=\frac{2}{3}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю SzaryWilk "Спасибо" сказали:
strelok995
 Заголовок сообщения: Re: Найти пределы,если они существуют
СообщениеДобавлено: 22 сен 2013, 18:04 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
14 сен 2013, 20:52
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо огромное!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти пределы,если они существуют
СообщениеДобавлено: 22 сен 2013, 18:35 
Не в сети
Гений
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 авг 2011, 00:18
Сообщений: 575
Откуда: Краков, Польша
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
576 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 265

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да не за что. ;)
Подсказка к последнему пределу: Покажите, что [math]\lim_{x\to 2}\ln(x^2-7x+11)\sin\frac{1}{x-2}=0[/math]
Подсказка к подсказке :D1 : функция синус ограничена

Ответ: 2

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти точки разрыва функции, если они существуют

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

iren_bz

1

141

10 ноя 2021, 11:43

Почему данные пределы не существуют?

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

sfanter

2

940

08 сен 2015, 21:16

Существуют ли события A, B и C

в форуме Теория вероятностей

tanyhaftv

5

760

26 сен 2018, 23:17

Существуют ли целые числа

в форуме Алгебра

shifo

12

690

01 мар 2018, 15:27

Какие на сегодня существуют ОС для РС?

в форуме Размышления по поводу и без

O Micron

54

1222

24 дек 2021, 13:17

Существуют ли белые фотоны?

в форуме Палата №6

O Micron

84

853

06 сен 2021, 17:26

Существуют ли анастасификационные числа, помимо 14 и 20?

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

Xenia1996

1

103

28 июл 2024, 01:10

Существуют ли в пространстве исходов две величины?

в форуме Теория вероятностей

akipol

3

254

22 ноя 2019, 20:49

Почему существуют рудные жилы?

в форуме Школьная физика

bazza

1

71

21 окт 2024, 15:59

Существуют ли «невычислимые» научные теории?

в форуме Размышления по поводу и без

Xenia1996

1

102

17 июл 2024, 02:07


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved