Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 3 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
DarkSoulina |
|
|
|
||
Вернуться к началу | ||
Human |
|
|
Поскольку [math]f(x,y)[/math] дифференцируема по [math]y[/math] при всех [math](x,y)\in G[/math], и число [math]C=\sup_G\left|\frac{\partial f}{\partial y}\right|[/math] конечно, то можно воспользоваться формулой конечных приращений, причём
[math]\left|f(x,y)-f(x,y_0)\right|=\left|\frac{\partial f}{\partial y}(x,\eta)\right||y-y_0|\leqslant C|y-y_0|[/math] Тогда [math]\left|f(x,y)-f(x_0,y_0)\right|=\left|f(x,y)-f(x,y_0)\right|+\left|f(x,y_0)-f(x_0,y_0)\right|\leqslant C|y-y_0|+\left|f(x,y_0)-f(x_0,y_0)\right|[/math] Функция [math]C|y-y_0|[/math] есть функция одной переменной, поэтому [math]\lim_{\substack{x\to x_0\\y\to y_0}}C|y-y_0|=\lim_{y\to y_0}C|y-y_0|=0[/math] Аналогично [math]\lim_{\substack{x\to x_0\\y\to y_0}}\left|f(x,y_0)-f(x_0,y_0)\right|=\lim_{x\to x_0}\left|f(x,y_0)-f(x_0,y_0)\right|=0[/math] поскольку [math]f[/math] непрерывна по [math]x[/math]. Значит по теореме о двух милиционерах [math]\lim_{\substack{x\to x_0\\y\to y_0}}\left|f(x,y)-f(x_0,y_0)\right|=0[/math] что означает непрерывность функции в точке [math](x_0,y_0)[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
Human |
|
|
Human писал(а): Тогда [math]\left|f(x,y)-f(x_0,y_0)\right|=\left|f(x,y)-f(x,y_0)\right|+\left|f(x,y_0)-f(x_0,y_0)\right|\leqslant C|y-y_0|+\left|f(x,y_0)-f(x_0,y_0)\right|[/math] Ошибся, должно быть [math]\left|f(x,y)-f(x_0,y_0)\right|\leqslant\left|f(x,y)-f(x,y_0)\right|+\left|f(x,y_0)-f(x_0,y_0)\right|\leqslant C|y-y_0|+\left|f(x,y_0)-f(x_0,y_0)\right|[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 3 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 35 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |