Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать непрерывность
СообщениеДобавлено: 09 июн 2013, 21:20 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 май 2013, 19:59
Сообщений: 27
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пусть f(x,y) непрерывна по переменной х при каждом фиксированном у и имеет ограниченную частную производную df\dy в области G. Доказать, что f непрерывна на G.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать непрерывность
СообщениеДобавлено: 10 июн 2013, 06:42 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Поскольку [math]f(x,y)[/math] дифференцируема по [math]y[/math] при всех [math](x,y)\in G[/math], и число [math]C=\sup_G\left|\frac{\partial f}{\partial y}\right|[/math] конечно, то можно воспользоваться формулой конечных приращений, причём

[math]\left|f(x,y)-f(x,y_0)\right|=\left|\frac{\partial f}{\partial y}(x,\eta)\right||y-y_0|\leqslant C|y-y_0|[/math]

Тогда

[math]\left|f(x,y)-f(x_0,y_0)\right|=\left|f(x,y)-f(x,y_0)\right|+\left|f(x,y_0)-f(x_0,y_0)\right|\leqslant C|y-y_0|+\left|f(x,y_0)-f(x_0,y_0)\right|[/math]

Функция [math]C|y-y_0|[/math] есть функция одной переменной, поэтому

[math]\lim_{\substack{x\to x_0\\y\to y_0}}C|y-y_0|=\lim_{y\to y_0}C|y-y_0|=0[/math]

Аналогично

[math]\lim_{\substack{x\to x_0\\y\to y_0}}\left|f(x,y_0)-f(x_0,y_0)\right|=\lim_{x\to x_0}\left|f(x,y_0)-f(x_0,y_0)\right|=0[/math]

поскольку [math]f[/math] непрерывна по [math]x[/math]. Значит по теореме о двух милиционерах

[math]\lim_{\substack{x\to x_0\\y\to y_0}}\left|f(x,y)-f(x_0,y_0)\right|=0[/math]

что означает непрерывность функции в точке [math](x_0,y_0)[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать непрерывность
СообщениеДобавлено: 10 июн 2013, 08:21 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human писал(а):
Тогда

[math]\left|f(x,y)-f(x_0,y_0)\right|=\left|f(x,y)-f(x,y_0)\right|+\left|f(x,y_0)-f(x_0,y_0)\right|\leqslant C|y-y_0|+\left|f(x,y_0)-f(x_0,y_0)\right|[/math]


Ошибся, должно быть

[math]\left|f(x,y)-f(x_0,y_0)\right|\leqslant\left|f(x,y)-f(x,y_0)\right|+\left|f(x,y_0)-f(x_0,y_0)\right|\leqslant C|y-y_0|+\left|f(x,y_0)-f(x_0,y_0)\right|[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать непрерывность функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

gail-ul

1

367

15 ноя 2016, 06:51

Как доказать непрерывность функций?

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

brom

1

194

25 фев 2017, 21:03

Приращением доказать непрерывность функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Bassovsky

1

290

01 окт 2017, 20:56

Доказать непрерывность и найти норму функционала

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

mugler02

29

2822

28 апр 2014, 10:20

Доказать непрерывность функции в точке по Коши

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

WayTo

2

1119

03 окт 2016, 18:16

Доказать непрерывность функции на языке "эпсилон-дельта"

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

PiPiPARU

0

1051

06 ноя 2014, 20:19

Непрерывность и равномерная непрерывность

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

md_house

0

244

24 дек 2017, 22:46

Непрерывность

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Karamka

2

212

18 апр 2018, 13:36

Непрерывность

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Knyazhe

1

316

15 ноя 2018, 20:32

Непрерывность функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

sanchousina

16

275

23 дек 2020, 00:09


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 35


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved