Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задача на непрерывность
СообщениеДобавлено: 28 мар 2013, 19:26 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
28 мар 2013, 19:22
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите доказать, пожалуйста! Если f(x) не достигает супремума и инфинума на интервале (a,b), то она монотонна.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на непрерывность.
СообщениеДобавлено: 28 мар 2013, 19:26 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
28 мар 2013, 19:22
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Забыл добавить, функция непрерывна

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на непрерывность.
СообщениеДобавлено: 28 мар 2013, 21:05 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Это неверно, либо Вы неверно записали условие. Скажем, функция

[math]f(x)=\left\{\begin{aligned}-\frac1x,\ 0<x\leqslant1\\|x-2|-2,\ 1<x\leqslant3\\-\frac1{x-4}-2,\ 3<x<4\end{aligned}\right.[/math]

непрерывна на интервале [math](1;4)[/math] и не достигает на нём ни супремума, ни инфимума, но при этом функция, очевидно, не монотонна.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на непрерывность.
СообщениеДобавлено: 28 мар 2013, 21:12 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
28 мар 2013, 19:22
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human
Как неудобно, забыл уточнить еще кое-что :( верхняя и нижняя грань не достигаются на любом конечном интервале (a,b).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на непрерывность.
СообщениеДобавлено: 29 мар 2013, 00:32 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Буду считать, что функция задана на всём [math]\mathbb{R}[/math].

▼ Лемма и основное утверждение
Пусть функция [math]f[/math] непрерывна на отрезке [math][a;b][/math], и существует точка [math]c[/math] интервала [math](a;b)[/math] такая, что [math]f(c)\geqslant f(a),\ f(c)\geqslant f(b)[/math] (либо [math]f(c)\leqslant f(a),\ f(c)\leqslant f(b)[/math]). Тогда функция [math]f[/math] достигает на интервале [math](a;b)[/math] верхней грани (либо нижней грани).

Доказательство: Пусть [math]f(c)\geqslant f(a),\ f(c)\geqslant f(b)[/math]. Согласно теореме Вейерштрасса функция [math]f[/math] достигает на отрезке [math][a;b][/math] верхней грани в некоторой точке отрезка [math][a;b][/math], причём эту точку можно найти на интервале [math](a;b)[/math]. Действительно, если верхняя грань достигается на конце отрезка [math][a;b][/math], то она же в силу неравенств [math]f(c)\geqslant f(a),\ f(c)\geqslant f(b)[/math] достигается и в точке [math]c[/math]. Но тогда в ней же будет достигаться и верхняя грань функции на интервале [math](a;b)[/math], ч. и т. д.

Аналогично в случае [math]f(c)\leqslant f(a),\ f(c)\leqslant f(b)[/math] доказывается достижимость нижней грани.

Из этой леммы естественным образом следует основное утверждение:

Если непрерывная на отрезке [math][a;b][/math] функция [math]f[/math] не достигает на интервале [math](a;b)[/math] ни верхней, ни нижней грани, то для любой точки [math]c\in(a;b)[/math] значение [math]f(c)[/math] находится между значениями [math]f(a)[/math] и [math]f(b)[/math].

Отсюда в частности следует, что [math]f(a)\ne f(b)[/math], поскольку между равными значениями никаких других значений нет.

Возьмём теперь какие-нибудь две точки [math]a<b[/math] и допустим, что [math]f(a)<f(b)[/math]. Покажем, что функция [math]f[/math] будет возрастать на [math]\mathbb{R}[/math]. Для этого возьмём произвольные точки [math]x_1<x_2[/math] и рассмотрим несколько случаев.

1) [math]x_1<a,\ x_1<x_2<b[/math]. Согласно основному утверждению [math]f(x_1)<f(a)<f(b)[/math], и значит [math]f(x_1)<f(x_2)<f(b)[/math].

2) [math]x_1<a,\ x_2=b[/math]. Согласно основному утверждению [math]f(x_1)<f(a)<f(b)=f(x_2)[/math].

3) [math]x_1<a,\ x_2>b[/math]. Согласно основному утверждению [math]f(x_1)<f(a)<f(b)[/math], и значит [math]f(x_1)<f(b)<f(x_2)[/math].

4) [math]x_1=a,\ a<x_2<b[/math]. Согласно основному утверждению [math]f(x_1)=f(a)<f(x_2)<f(b)[/math].

5) [math]x_1=a,\ x_2>b[/math]. Согласно основному утверждению [math]f(x_1)=f(a)<f(b)<f(x_2)[/math].

Остальные случаи уже сами разберите, а то мне откровенно лень :) Может быть, их вообще не стоило бы разбирать из-за своеобразной очевидности, но мне лично это не так очевидно.
Аналогично доказывается убывание при допущении [math]f(a)>f(b)[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
Alexdemath, Analitik
 Заголовок сообщения: Re: Задача на непрерывность.
СообщениеДобавлено: 29 мар 2013, 15:11 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
28 мар 2013, 19:22
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human
Спасибо большое за столь подробное решение, помогли очень!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Непрерывность и равномерная непрерывность

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

md_house

0

269

24 дек 2017, 22:46

Непрерывность

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Knyazhe

1

335

15 ноя 2018, 20:32

Непрерывность

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Karamka

2

244

18 апр 2018, 13:36

Непрерывность функции на R

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

kucher

0

197

22 окт 2016, 21:23

Непрерывность функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

kucher

4

343

25 окт 2016, 00:48

Непрерывность функции #2

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

lockyst

0

323

01 май 2018, 16:41

Непрерывность функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

lockyst

0

237

01 май 2018, 16:39

Равностепенная непрерывность

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

kvv2505

0

174

16 июн 2023, 02:31

Непрерывность функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Indaialon

0

270

27 окт 2016, 23:48

Непрерывность функции

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

genia2030

10

3810

01 окт 2019, 19:14


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved