Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 6 ] |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| alexeyderihle |
|
|
|
|
||
| Вернуться к началу | ||
| alexeyderihle |
|
|
|
Забыл добавить, функция непрерывна
|
||
| Вернуться к началу | ||
| Human |
|
|
|
Это неверно, либо Вы неверно записали условие. Скажем, функция
[math]f(x)=\left\{\begin{aligned}-\frac1x,\ 0<x\leqslant1\\|x-2|-2,\ 1<x\leqslant3\\-\frac1{x-4}-2,\ 3<x<4\end{aligned}\right.[/math] непрерывна на интервале [math](1;4)[/math] и не достигает на нём ни супремума, ни инфимума, но при этом функция, очевидно, не монотонна. |
||
| Вернуться к началу | ||
| alexeyderihle |
|
|
|
Human
Как неудобно, забыл уточнить еще кое-что верхняя и нижняя грань не достигаются на любом конечном интервале (a,b). |
||
| Вернуться к началу | ||
| Human |
|
|
|
Буду считать, что функция задана на всём [math]\mathbb{R}[/math].
▼ Лемма и основное утверждение
Возьмём теперь какие-нибудь две точки [math]a<b[/math] и допустим, что [math]f(a)<f(b)[/math]. Покажем, что функция [math]f[/math] будет возрастать на [math]\mathbb{R}[/math]. Для этого возьмём произвольные точки [math]x_1<x_2[/math] и рассмотрим несколько случаев. 1) [math]x_1<a,\ x_1<x_2<b[/math]. Согласно основному утверждению [math]f(x_1)<f(a)<f(b)[/math], и значит [math]f(x_1)<f(x_2)<f(b)[/math]. 2) [math]x_1<a,\ x_2=b[/math]. Согласно основному утверждению [math]f(x_1)<f(a)<f(b)=f(x_2)[/math]. 3) [math]x_1<a,\ x_2>b[/math]. Согласно основному утверждению [math]f(x_1)<f(a)<f(b)[/math], и значит [math]f(x_1)<f(b)<f(x_2)[/math]. 4) [math]x_1=a,\ a<x_2<b[/math]. Согласно основному утверждению [math]f(x_1)=f(a)<f(x_2)<f(b)[/math]. 5) [math]x_1=a,\ x_2>b[/math]. Согласно основному утверждению [math]f(x_1)=f(a)<f(b)<f(x_2)[/math]. Остальные случаи уже сами разберите, а то мне откровенно лень Может быть, их вообще не стоило бы разбирать из-за своеобразной очевидности, но мне лично это не так очевидно.Аналогично доказывается убывание при допущении [math]f(a)>f(b)[/math]. |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: Alexdemath, Analitik |
||
| alexeyderihle |
|
|
|
Human
Спасибо большое за столь подробное решение, помогли очень! |
||
| Вернуться к началу | ||
|
[ Сообщений: 6 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |