Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вычислить предел
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=22329
Страница 1 из 1

Автор:  DAG [ 27 фев 2013, 21:49 ]
Заголовок сообщения:  Вычислить предел

Помогите пожалуйста,не могу додуматься.Как решить?

Вложения:
.JPG
.JPG [ 6.74 Кб | Просмотров: 640 ]
.JPG
.JPG [ 6.99 Кб | Просмотров: 643 ]

Автор:  erjoma [ 28 фев 2013, 08:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить предел

[math]\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{{{\left( {\operatorname{tg} x} \right)}^{\frac{1}{3}}} - 1}}{{{{\log }_{\frac{\pi }{4}}}x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{\left( {{{\left( {\operatorname{tg} x} \right)}^{\frac{1}{3}}} - 1} \right)\left( {{{\left( {\operatorname{tg} x} \right)}^{\frac{2}{3}}} + {{\left( {\operatorname{tg} x} \right)}^{\frac{1}{3}}} + 1} \right)}}{{\left( {{{\log }_{\frac{\pi }{4}}}x - 1} \right)\left( {{{\left( {\operatorname{tg} x} \right)}^{\frac{2}{3}}} + {{\left( {\operatorname{tg} x} \right)}^{\frac{1}{3}}} + 1} \right)}} = \frac{1}{3}\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{\operatorname{tg} x - 1}}{{{{\log }_{\frac{\pi }{4}}}x - 1}} = \hfill \\ = \left( {x = \frac{\pi }{4} + t} \right) = \frac{1}{3}\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\operatorname{tg} \left( {\frac{\pi }{4} + t} \right) - 1}}{{{{\log }_{\frac{\pi }{4}}}\left( {\frac{\pi }{4} + t} \right) - 1}} = \frac{1}{3}\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\frac{{1 + \operatorname{tg} t}}{{1 - \operatorname{tg} t}} - 1}}{{{{\log }_{\frac{\pi }{4}}}\left( {1 + \frac{4}{\pi }t} \right)}} = \frac{2}{3}\ln \frac{\pi }{4}\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\operatorname{tg} t}}{{\ln \left( {1 + \frac{4}{\pi }t} \right)}} = \frac{\pi }{6}\ln \frac{\pi }{4} \hfill \\ \end{gathered}[/math]


[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\frac{{1 + x{2^x}}}{{1 + x{3^x}}}} \right)^{\frac{1}{{{x^2}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + \frac{{x\left( {{2^x} - {3^x}} \right)}}{{1 + x{3^x}}}} \right)^{\frac{1}{{{x^2}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + \frac{{x\left( {{2^x} - {3^x}} \right)}}{{1 + x{3^x}}}} \right)^{\frac{{1 + x{3^x}}}{{x\left( {{2^x} - {3^x}} \right)}} \cdot \frac{{{2^x} - {3^x}}}{{x\left( {1 + x{3^x}} \right)}}}} = \frac{2}{3}[/math]

Автор:  Avgust [ 28 фев 2013, 09:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить предел

1) Предел необычный. Решаю графически:

plot({(tan(x)^(1/3)-1)/(ln(x)/ln((1/4)*Pi)-1), -(1/6)*Pi*ln(4/Pi)}, x = 0 .. 1.0, thickness = 2);

Изображение

Вольфрам подтверждает: http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... 4%29*Pi%29

Автор:  Avgust [ 28 фев 2013, 10:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить предел

1) Гораздо проще вывести ЭБМ числителя и знаменателя по формуле Тейлора в нулевой точке:

[math]\sqrt[3]{tg(t+0.25\pi)}-1 \sim \frac {2t}{3}[/math]

[math]\frac{\ln(t+0.25\pi)}{\ln(0.25\pi)}-1 \sim \frac{4t}{\pi \ln(0.25\pi)}[/math]

Отношение этих ЭБМ сразу дает ответ.

Автор:  DAG [ 28 фев 2013, 13:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить предел

erjoma
Простите,а куды вы дели число e ? вы же по 2 замечательному пределу решали

Автор:  erjoma [ 28 фев 2013, 16:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить предел

Avgust писал(а):
1) Гораздо проще вывести ЭБМ числителя и знаменателя по формуле Тейлора в нулевой точке:

[math]\sqrt[3]{tg(t+0.25\pi)}-1 \sim \frac {2t}{3}[/math]

[math]\frac{\ln(t+0.25\pi)}{\ln(0.25\pi)}-1 \sim \frac{4t}{\pi \ln(0.25\pi)}[/math]

Отношение этих ЭБМ сразу дает ответ.


Можно было применить правило Лопиталя
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{{{\left( {\operatorname{tg} x} \right)}^{\frac{1}{3}}} - 1}}{{{{\log }_{\frac{\pi }{4}}}x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{x\ln \frac{\pi }{4}}}{{3{{\left( {\operatorname{tg} x} \right)}^{\frac{2}{3}}}{{\left( {\cos x} \right)}^2}}} = \frac{\pi }{6}\ln \frac{\pi }{4}[/math]



DAG писал(а):
erjoma
Простите,а куды вы дели число e ? вы же по 2 замечательному пределу решали


[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{2^x} - {3^x}}}{{x\left( {1 + x{3^x}} \right)}} = \ln \frac{2}{3}[/math]

Автор:  DAG [ 28 фев 2013, 19:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить предел

спасибо всем

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/