Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Пределы
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=22209
Страница 1 из 5

Автор:  Vadim Shlovikov [ 21 фев 2013, 13:47 ]
Заголовок сообщения:  Пределы

№1. Решите предел [math]\lim_{x\to0}\left(ctg \, x+\ln x\right)[/math].

Автор:  Vadim Shlovikov [ 21 фев 2013, 15:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пределы

Vadim Shlovikov писал(а):
№1. Решите предел [math]\lim_{x\to0}\left(ctg \, x+\ln x\right)[/math].

Решение предела №1 [math]\lim_{x\to0}\left(ctg \, x+\ln x\right)[/math].
[math]\lim_{x\to0}\left(ctg \, x+\ln x\right)=\infty-\infty=\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{tg \, x}+\ln x\right)=\lim_{x\to0}\frac{1+tg \, x\cdot\ln x}{tg \, x}[/math].
Рассмотрим предел [math]\lim_{x\to0}tg \, x\cdot\ln x=0\cdot\left(-\infty\right)[/math].
Решим его [math]\lim_{x\to0}tg \, x\cdot\ln x=0\cdot\left(-\infty\right)=\lim_{x\to0}\frac{\ln x}{\frac{1}{tg \, x}}=\frac{-\infty}{\infty}=\lim_{x\to0}\frac{\left(\ln x\right)'}{\left(\frac{1}{tg \, x}\right)'}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{\cos^{2}x\cdot tg^{2} \, x}}=\lim_{x\to0}-\frac{tg^{2} \, x}{x}=-0[/math].
В итоге получаем [math]\lim_{x\to0}\frac{1+tg \, x\cdot\ln x}{tg x}=\lim_{x\to0}\frac{1+\left(-0\right)}{tg \, x}=\infty[/math].

Автор:  Vadim Shlovikov [ 21 фев 2013, 15:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пределы

№2. Решите предел [math]\lim_{x\to\infty}\left(x-\ln x\right)[/math].

Автор:  Vadim Shlovikov [ 21 фев 2013, 16:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пределы

Vadim Shlovikov писал(а):
№2. Решите предел [math]\lim_{x\to\infty}\left(x-\ln x\right)[/math].

Решение предела №2 [math]\lim_{x\to\infty}\left(x-\ln x\right)[/math].
Этот предел решается, исходя из решения предела [math]\lim_{x\to\infty}\frac{x}{\ln x}=\frac{\infty}{\infty}=\lim_{x\to\infty}\frac{\left(x\right)'}{\left(\ln x\right)'}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to\infty}x=\infty[/math].
То есть [math]x[/math] в бесконечное число раз больше [math]\ln x[/math], а значит, [math]\lim_{x\to\infty}\left(x-\ln x\right)=\infty[/math].

Автор:  Vadim Shlovikov [ 21 фев 2013, 16:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пределы

№3. Решите предел [math]\lim_{x\to\infty}\left(x^{x}-e^{x}\right)[/math].

Автор:  Vadim Shlovikov [ 21 фев 2013, 17:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пределы

Vadim Shlovikov писал(а):
№3. Решите предел [math]\lim_{x\to\infty}\left(x^{x}-e^{x}\right)[/math].

Решение предела №3 [math]\lim_{x\to\infty}\left(x^{x}-e^{x}\right)[/math].
Этот предел решается, исходя из решения предела [math]\lim_{x\to\infty}\frac{x^{x}}{e^{x}}=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x}{e}\right)^{x}=\infty[/math].
То есть получаем, что [math]x^{x}[/math] в бесконечное число раз больше [math]e^{x}[/math], а значит, [math]\lim_{x\to\infty}\left(x^{x}-e^{x}\right)=\infty[/math].

Автор:  Vadim Shlovikov [ 27 мар 2013, 20:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пределы

№4. Решите предел [math]\lim_{x\to\infty}(e^{x^{2}}-x^{x})[/math].

Автор:  Sviatoslav [ 27 мар 2013, 20:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пределы

Если следовать такому же методу, то [math]\mathop{\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{{{e^{{x^2}}}}}{{{x^x}}}= \infty[/math], значит, [math]\mathop{\lim}\limits_{x \to \infty}\left({{e^{{x^2}}}-{x^x}}\right) = \infty[/math]

Автор:  Vadim Shlovikov [ 28 мар 2013, 07:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пределы

Sviatoslav, совершенно верно.
Решим предел №4. [math]\lim_{x\to\infty}(e^{x^{2}}-x^{x})=\infty-\infty[/math] подробно.
Для этого решим предел [math]\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x^{2}}}{x^{x}}=\frac{\infty}{\infty}\approx\lim_{x\to\infty}\frac{\ln e^{x^{2}}}{\ln x^{x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}\cdot\ln e}{x\cdot\ln x}=\lim_{x\to\infty}\frac{x}{\ln x}=\frac{\infty}{\infty}=\lim_{x\to\infty}\frac{x'}{(\ln x)'}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to\infty}x=\infty[/math].
Получили, что [math]e^{x^{2}}[/math] в бесконечное число раз больше [math]x^{x}[/math] при [math]x\to\infty[/math], а значит, [math]\lim_{x\to\infty}(e^{x^{2}}-x^{x})=\infty[/math].

Автор:  mad_math [ 28 мар 2013, 14:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пределы

Предел, как и интеграл, "решить" нельзя.

Страница 1 из 5 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/