Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Вычислить предел без использования правила Лопиталя
СообщениеДобавлено: 14 фев 2013, 06:38 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 дек 2012, 19:38
Сообщений: 19
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый день.
Имеется предел:

[math]\lim_{x \to 1}\frac{\operatorname{arcctg}\left(\frac{1}{\\sin^{2}{\pi}\sqrt{x} \right) }}{\left( \operatorname{tg}{\left(\frac{\pi x}{4}}\right) -1 \right) ^{2}}[/math]

Нужно решить без использования правила Лопиталя. Из-за arcctg в числителе не имеется никаких мыслей на что его можно заменить.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить предел без использования правила Лопиталя
СообщениеДобавлено: 14 фев 2013, 10:10 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
21 авг 2011, 15:49
Сообщений: 5279
Cпасибо сказано: 315
Спасибо получено:
2295 раз в 1964 сообщениях
Очков репутации: 520

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\operatorname{arcctg}\frac{1}{a}=\operatorname{arctg}a[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить предел без использования правила Лопиталя
СообщениеДобавлено: 14 фев 2013, 11:35 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 дек 2012, 19:38
Сообщений: 19
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Это пробовал. Как-то совсем не помогает. Дальше ведь не разложить и не заменить на эквивалентное.
Единственное, что придумал - разложение в ряд Тейлора до первого слагаемого с x. В принципе, и в числителе, и в знаменателе это будет [math]\frac{ \pi ^ {2} }{ 4 } x ^{2}[/math], что дает единицу в ответе. Но такой метод кажется слишком пространным.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить предел без использования правила Лопиталя
СообщениеДобавлено: 14 фев 2013, 12:22 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 14:09
Сообщений: 18937
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11245
Спасибо получено:
5093 раз в 4601 сообщениях
Очков репутации: 687

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
KNHOman писал(а):
Дальше ведь не разложить и не заменить на эквивалентное.
Вообще-то, [math]\operatorname{arctg}x\sim x[/math] при [math]x\to 0[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить предел без использования правила Лопиталя
СообщениеДобавлено: 14 фев 2013, 14:08 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 11069
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 950
Спасибо получено:
3234 раз в 2824 сообщениях
Очков репутации: 629

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если в окошке Вольфрама запустить график
plot(arccot(1/sin^2(pi*sqrt(x)))/(tan(pi*x/4)-1)^2,x=0.999..1.001)
то будет единица:

Но у меня никак такое аналитически не получается :(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить предел без использования правила Лопиталя
СообщениеДобавлено: 14 фев 2013, 16:12 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 4071
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1796 раз в 1498 сообщениях
Очков репутации: 374

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот с помощью эквивалентностей:

[math]\operatorname{arctg}\left(\sin^2\pi\sqrt x\right)\sim\sin^2\pi\sqrt x=\sin^2\pi(\sqrt x-1)\sim\pi^2\left(\sqrt x-1\right)^2=\pi^2\left(\sqrt{1+(x-1)}-1\right)^2\sim\pi^2\left(\frac12(x-1)\right)^2=\frac{\pi^2(x-1)^2}4[/math]

[math]\left(\operatorname{tg}\frac{\pi x}4-1\right)^2=\left(\operatorname{tg}\left(\frac{\pi(x-1)}4+\frac{\pi}4\right)-1\right)^2=\left(\frac{1+\operatorname{tg}\frac{\pi(x-1)}4}{1-\operatorname{tg}\frac{\pi(x-1)}4}-1\right)^2=\frac{4\operatorname{tg}^2\frac{\pi(x-1)}4}{\left(1-\operatorname{tg}\frac{\pi(x-1)}4\right)^2}\sim\frac{\pi^2(x-1)^2}4[/math]

Все эквивалентности брались, очевидно, при [math]x\to1[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
KNHOman, mad_math, Yurik
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить предел без использования правила Лопиталя
СообщениеДобавлено: 14 фев 2013, 16:32 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 дек 2012, 19:38
Сообщений: 19
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот ведь. Теперь все ясно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить предел без использования правила Лопиталя
СообщениеДобавлено: 09 мар 2013, 10:13 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
08 мар 2013, 23:57
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброго времени суток!
Н е поможете ли Исследовать на сходимость
n^2/(3n)!

Вроде ничего, вот если б только не факториал
Примного благодарен

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить предел без использования правила Лопиталя
СообщениеДобавлено: 09 мар 2013, 11:08 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
21 авг 2011, 15:49
Сообщений: 5279
Cпасибо сказано: 315
Спасибо получено:
2295 раз в 1964 сообщениях
Очков репутации: 520

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Сходится по признаку Даламбера.
[math]\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{\left( {3n} \right)! \cdot \left( {3n + 3} \right)}}\frac{{\left( {3n} \right)!}}{{{n^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{\left( {3n + 3} \right)}}{\left( {\frac{{n + 1}}{n}} \right)^2} = 0 < 1[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить предел без использования правила Лопиталя
СообщениеДобавлено: 09 мар 2013, 15:02 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
08 мар 2013, 23:57
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Yurik писал(а):
Сходится по признаку Даламбера.
[math]\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{\left( {3n} \right)! \cdot \left( {3n + 3} \right)}}\frac{{\left( {3n} \right)!}}{{{n^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{\left( {3n + 3} \right)}}{\left( {\frac{{n + 1}}{n}} \right)^2} = 0 < 1[/math]

Я конечно польщен и нет границ моему изумлению. Но было бы еще лучше если бы вы чуток расписали. Детали не прошу (не то совестно, сам попытаюсь разобраться). Только вот откуда и как получилось знаменатель под (n+1)^2.
С факториалом что-то "замутили", как я уже писал на верху я слаб с факториалом. А остальное мне понятно как 2*2=4
Спасибо

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Вычислить предел без использования правила Лопиталя

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

evaf

28

411

25 дек 2016, 11:03

Предел без использования правила Лопиталя

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

lusa

6

141

20 сен 2017, 21:42

Предел функции без использования правила Лопиталя

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

351w

8

99

28 ноя 2017, 16:44

Найти предел без использования правила Лопиталя

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Anagram

1

307

02 окт 2013, 23:37

Найти предел без использования правила Лопиталя

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

cmet

3

119

02 янв 2018, 21:16

Пределы без использования правила Лопиталя

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Nufus

18

516

03 апр 2015, 11:42

Найти указанные пределы без использования правила Лопиталя

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

alena1994

1

355

09 янв 2014, 23:13

Вычислить предел без правила Лопиталя

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

satisfaction

4

285

22 дек 2012, 15:24

Вычислить предел без правила Лопиталя

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

tiufanov

2

272

10 дек 2012, 06:52

Вычислить предел с произведением без правила Лопиталя

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Vodichka

3

276

11 ноя 2012, 18:00


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved