Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Пределы последовательности и сходимость
СообщениеДобавлено: 10 фев 2013, 19:09 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 фев 2013, 18:48
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ребятки, нужно решить срочно срооочно :) пожалуйста, препожааалуйста** :blush:
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Пределы последовательности и сходимость
СообщениеДобавлено: 10 фев 2013, 20:02 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вы случайно с автором этой темы не учитесь вместе: http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=19636?
Больно задания похожи.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Пределы последовательности и сходимость
СообщениеДобавлено: 10 фев 2013, 20:06 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 фев 2013, 18:48
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human писал(а):
Вы случайно с автором этой темы не учитесь вместе: http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=19636?
Больно задания похожи.

Это с потока девочка :oops:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Пределы последовательности и сходимость
СообщениеДобавлено: 10 фев 2013, 20:21 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 22:28
Сообщений: 4430
Cпасибо сказано: 565
Спасибо получено:
1075 раз в 952 сообщениях
Очков репутации: 315

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А у меня глаза расположены горизонтально...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Пределы последовательности и сходимость
СообщениеДобавлено: 10 фев 2013, 20:46 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Дааа. Аватара четче и приятней смотрится. Главное - понятней :D1

Можно помедленней и поLaTexней ?

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Пределы последовательности и сходимость
СообщениеДобавлено: 10 фев 2013, 20:53 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, было бы хорошо, если бы Вы расположили картинку так, чтобы не пришлось поворачивать голову или делать ещё какие-либо лишние телодвижения. И освещение нужно сделать получше.

Покажу 2 в), оно кажется интересным.

▼ Решение
[math]x_1=5,\ x_{n+1}=\frac4{x_n}+3[/math]

Докажем по индукции, что [math]x_{2n-1}>4[/math]. При [math]n=1[/math] имеем: [math]x_1=5>4[/math] - выполнено.
Предположим, что при [math]n=k[/math] неравенство выполнено. Тогда

[math]x_{2k+1}=\frac4{\frac4{x_{2k-1}}+3}+3=\frac{13}3-\frac{16}{3(3x_{2k-1}+4)}>\frac{13}3-\frac{16}{3(3\cdot4+4)}=4[/math]

Неравенство доказано. Тогда с учётом этого неравенства получим:

[math]x_{2n+1}-x_{2n-1}=\frac{13x_{2n-1}+12}{3x_{2n-1}+4}-x_{2n-1}=-\frac3{3x_{2n-1}+4}(x_{2n-1}-4)(x_{2n-1}+1)<0[/math]

откуда [math]x_{2n+1}<x_{2n-1}[/math]. Итак, последовательность [math]x_{2n-1}[/math] монотонно убывает и ограничена снизу числом [math]4[/math], значит она сходится к некоторому числу [math]c[/math]. Значит и последовательность [math]x_{2n+1}[/math] сходится к этому же числу, поэтому, переходя к пределу в равенстве

[math]x_{2n+1}=\frac{13x_{2n-1}+12}{3x_{2n-1}+4}[/math]

получим

[math]c=\frac{13c+12}{3c+4}[/math]

откуда либо [math]c=4[/math], либо [math]c=-1[/math]. Но [math]x_{2n-1}>4[/math], поэтому [math]c=-1[/math] не может быть пределом этой последовательности. Значит [math]x_{2n-1}\to4[/math].

Теперь аналогичным образом докажите, что [math]0<x_{2n}<4[/math] и [math]x_{2n+2}>x_{2n}[/math]. Тогда последовательность [math]x_{2n}[/math] монотонно возрастает и ограничена сверху числом [math]4[/math], значит сходится к числу [math]c[/math]. Аналогично получаем, что [math]c=4[/math], а раз две подпоследовательности с чётными и нечётными номерами сходятся к [math]4[/math], то и вся последовательность [math]x_n[/math] тоже будет туда сходиться.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Пределы последовательности и сходимость
СообщениеДобавлено: 10 фев 2013, 21:08 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А я покажу 1в). Он страшно простой:

[math]=\lim \limits _{n \to \infty}\frac{\frac{1}{n^2}-1}{3+\frac{1}{n^2}}=\frac{0-1}{3+0}=-\frac 13[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Пределы последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

____kxkxkx____

0

142

14 ноя 2018, 16:15

Вычислить пределы последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Tom

1

133

09 сен 2020, 15:53

Найти верхний и нижний пределы последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

pDevil

3

379

15 янв 2018, 21:42

Пределы , теорема Вейерштрассе , сумма последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

ioan

4

248

29 янв 2022, 20:31

Сходимость последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

JuliLA

2

451

01 ноя 2015, 15:11

Сходимость последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Rudolph

7

1064

11 дек 2014, 21:54

Сходимость последовательности

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

min_

4

559

29 май 2018, 19:52

Сходимость последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

liliya347347

4

99

08 дек 2023, 14:17

Сходимость последовательности в пространстве С[0, 1]

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Katrina7

10

851

07 ноя 2017, 18:40

Доказать сходимость последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

kak_eru_666

5

248

15 окт 2019, 15:52


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 30


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved