|
Последняя инстанция |
|
Зарегистрирован: 03 апр 2012, 03:09 Сообщений: 4112 Cпасибо сказано: 116 Спасибо получено: 1823 раз в 1515 сообщениях Очков репутации: 379
|
▼ Вспомогательная лемма
Лемма. Пусть функция [math]f[/math] непрерывна на отрезке [math][a;b][/math] и [math]f(b)<f(x)[/math] для всех [math]x\in[a;b)[/math]. Пусть [math]c[/math] - произвольная точка интервала [math](a;b)[/math]. Тогда на интервале [math](c;b)[/math] существует точка [math]x_0[/math] такая, что [math]f(x_0)\leqslant f(x)[/math] при всех [math]x\in[a;x_0][/math].
Доказательство: Предположим противное, пусть такой точки не существует. Рассмотрим произвольную точку [math]y[/math] интервала [math](c;b)[/math]. Тогда минимум функции на отрезке [math][a;y][/math] достигается в некоторой точке [math]z[/math] отрезка [math][a;c][/math]. Действительно, если бы он достигался в некоторой точке [math]z[/math] полуинтервала [math](c;y][/math], то он бы достигался в этой же точке и на отрезке [math][a;z][/math], что противоречит предполагаемому. Но тогда и для каждого [math]y\in(c;b)[/math] минимум [math]f[/math] на отрезке [math][a;y][/math] достигается в точке [math]z[/math], то есть [math]f(x)\geqslant f(z)[/math] для всех [math]x\in[a;b)[/math]. Поскольку [math]f[/math] непрерывна слева в точке [math]b[/math], то, переходя к левому пределу в этом неравенстве, получим [math]f(b)\geqslant f(z)[/math], что противоречит условию [math]f(b)<f(z)[/math].
▼ Решение
Прежде всего заметим, что функция [math]m(x)[/math] убывает на [math][a;b][/math]. Действительно, при [math]x_1<x_2[/math] минимум (здесь и далее под словом "минимум" понимается глобальный минимум) функции [math]f[/math] на отрезке [math][a;x_2][/math] меньше любого значения на отрезке [math][a;x_1][/math], а потому не может превосходить минимума [math]f[/math] на отрезке [math][a;x_1][/math]. Тогда по теореме о пределе монотонной функции у функции [math]m(x)[/math] в каждой точке полуинтервала [math][a;b)[/math] существует правый предел, а в каждой точке полуинтервала [math](a;b][/math] - левый предел.
Покажем, что функция [math]m(x)[/math] непрерывна в некоторой точке [math]x_0\in(a;b)[/math]. Рассмотрим два случая:
1. [math]m(x_0)\ne f(x_0)[/math]. Тогда на полуинтервале [math][a;x_0)[/math] есть такая точка [math]x_1[/math], что [math]m(x_0)=f(x_1)<f(x_0)[/math], а раз функция [math]f[/math] непрерывна в точке [math]x_0[/math], то существует и целая окрестность точки [math]x_0[/math] такая, что [math]f(x)>f(x_1)[/math] для точек [math]x[/math] этой окрестности. Значит [math]m(x)=\min_{[a;x]}f(t)=f(x_1)[/math], то есть в этой окрестности [math]m(x)[/math] есть тождественная константа, поэтому [math]m(x)[/math] непрерывна в [math]x_0[/math].
2. [math]m(x_0)=f(x_0)[/math]. Покажем сначала, что [math]m(x)[/math] непрерывна слева в точке [math]x_0[/math]. Для этого рассмотрим ещё два случая.
2.1. Существует такая точка [math]x_1\in[a;x_0)[/math], что [math]m(x_0)=f(x_1)[/math]. Тогда [math]f(x)\geqslant f(x_1)[/math] при всех [math]x\in[a;x_0][/math], и значит [math]m(x)=f(x_1)[/math] при всех [math]x\in[x_1;x_0][/math], то есть [math]m(x)[/math] есть тождественная константа в левой окрестности [math]x_0[/math]. Значит [math]m(x)[/math] непрерывна слева в точке [math]x_0[/math].
2.2. Не существует такой точки [math]x_1\in[a;x_0)[/math], что [math]m(x_0)=f(x_1)[/math], то есть другими словами [math]f(x_0)<f(x)[/math] для всех [math]x\in[a;x_0)[/math]. Поделим отрезок [math][a;x_0][/math] точкой [math]y_1[/math] пополам. Тогда согласно лемме найдётся такая точка [math]x_1\in(y_1;x_0)[/math], что [math]m(x_1)=f(x_1)[/math]. Поделив отрезок [math][x_1;x_0][/math] пополам точкой [math]y_2[/math] и снова воспользовавшись леммой, получим точку [math]x_2\in(y_2;x_0)[/math] такую, что [math]m(x_2)=f(x_2)[/math] и т. д. Продолжая таким образом, получим в итоге сходящуюся к [math]x_0[/math] последовательность [math]\{x_n\}_{n=1}^{\infty}[/math] такую, что [math]m(x_n)=f(x_n)[/math]. Функция [math]f[/math] непрерывна в точке [math]x_0[/math], поэтому существует [math]\lim_{n\to\infty}m(x_n)=\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(x_0)[/math]. С другой стороны по указанному выше у функции [math]m(x)[/math] в точке [math]x_0[/math] есть левый предел, значит согласно определению предела по Гейне [math]\lim_{x\to x_0-}m(x)=\lim_{n\to\infty}m(x_n)=f(x_0)=m(x_0)[/math], то есть функция [math]m(x)[/math] непрерывна слева в точке [math]x_0[/math].
Покажем теперь, что функция [math]m(x)[/math] непрерывна справа в точке [math]x_0[/math]. Рассмотрим снова два случая.
2.1' Существует такая правая проколотая окрестность [math](x_0;x_0+\delta)[/math] точки [math]x_0[/math], что [math]f(x)\geqslant f(x_0)[/math] для всех [math]x\in(x_0;x_0+\delta)[/math]. Тогда для всех [math]x\in(x_0;x_0+\delta)[/math] выполнено равенство [math]m(x)=\min_{[a;x]}f(t)=\min_{[a;x_0]}f(t)=m(x_0)[/math], то есть [math]m(x)[/math] есть тождественная константа в правой окрестности [math]x_0[/math], и значит она непрерывна справа в [math]x_0[/math].
2.2' В любой правой проколотой окрестности точки [math]x_0[/math] есть такая точка [math]y[/math], что [math]f(y)<f(x_0)[/math]. Рассмотрим некоторую правую проколотую окрестность точки [math]x_0[/math] и точку [math]y_1[/math] с указанным свойством. Так как [math]m(x_0)=f(x_0)[/math], а [math]f(x_0)>f(y_1)[/math], то минимум функции [math]f[/math] на отрезке [math][a;y_1][/math] достигается в некоторой точке [math]x_1\in(x_0;y_1][/math], а значит в этой же точке достигается и минимум [math]f[/math] на отрезке [math][a;x_1][/math], то есть [math]m(x_1)=f(x_1)[/math]. Поделив отрезок [math][x_0;x_1][/math] пополам точкой [math]y_2[/math] и применив те же рассуждения, получим точку [math]x_2\in(x_0;y_2][/math] такую, что [math]m(x_2)=f(x_2)[/math], и т. д. В итоге получим сходящуюся к [math]x_0[/math] последовательность [math]\{x_n\}_{n=1}^{\infty}[/math] такую, что [math]m(x_n)=f(x_n)[/math]. Проведя рассуждения, аналогичные рассужденияем пункта 2.2, для правого предела, получим, что [math]m(x)[/math] непрерывна справа в точке [math]x_0[/math].
Из непрерывности слева и справа следует непрерывность.
Непрерывность справа в точке [math]a[/math] доказывается аналогично пунктам 2.1' и 2.2' (поскольку [math]m(a)=f(a)[/math]), а непрерывность слева в точке [math]b[/math] - пунктам 1, 2.1 и 2.2.
Последний раз редактировалось Human 21 янв 2013, 20:32, всего редактировалось 1 раз.
|