Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Непрерывность минимума непрерывной функции
СообщениеДобавлено: 21 янв 2013, 16:26 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пусть функция [math]f(x)[/math] непрерывна на отрезке [math][a;b][/math]. Доказать, что функция [math]m(x)=\min_{[a;x]}f(t)[/math] также непрерывна на [math][a;b][/math].

Эта задача вызвала у меня неожиданные трудности при решении. Основная проблема в том, что даже непрерывные функции могут весьма изощрённо вести себя в окрестностях некоторых точек (скажем, пользуясь канторовой лестницей, можно породить очень мозгодробительные непрерывные функции). Решение я, наконец, получил, но оно довольно громоздкое. Сейчас я попытаюсь его немного систематизировать, и чуть позже выложу. Может, кто-то из участников видит здесь довольно простое решение?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Непрерывность минимума непрерывной функции
СообщениеДобавлено: 21 янв 2013, 18:57 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Первое, что пришло в голову.
Будем доказывать данное свойство для максимума (мне так удобнее). Прибавив константу, можно считать, что исходная функция положительна на промежутке [math]\left[{a,b}\right][/math]. Рассмотрим семейство функций, при [math]t \in \left[{a,b}\right][/math] положим
[math]f_t \left( x \right) = \left\{{\begin{array}{*{20}c}{f\left( x \right),\;a \leqslant x \leqslant t,}\\{f\left( t \right),\;t \leqslant x \leqslant b.}\\ \end{array}}\right.[/math]
Тогда
[math]\mathop{\max}\limits_{a \leqslant x \leqslant t}f\left( x \right) = \left\|{f_t}\right\|[/math]
Далее, при [math]\tau < t[/math] из неравенства треугольника для нормы выводим
[math]\left|{\left\|{f_t}\right\| - \left\|{f_\tau}\right\|}\right| \leqslant \left\|{f_t - f_\tau}\right\| = \mathop{\max}\limits_{\tau \leqslant x \leqslant t}\left|{f\left( x \right)}\right|[/math]
Осталось воспользоваться теоремой Кантора — Гейне, которая гласит, что функция, непрерывная на компакте, равномерно непрерывна на нём.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
Human
 Заголовок сообщения: Re: Непрерывность минимума непрерывной функции
СообщениеДобавлено: 21 янв 2013, 19:39 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
▼ Вспомогательная лемма
Лемма. Пусть функция [math]f[/math] непрерывна на отрезке [math][a;b][/math] и [math]f(b)<f(x)[/math] для всех [math]x\in[a;b)[/math]. Пусть [math]c[/math] - произвольная точка интервала [math](a;b)[/math]. Тогда на интервале [math](c;b)[/math] существует точка [math]x_0[/math] такая, что [math]f(x_0)\leqslant f(x)[/math] при всех [math]x\in[a;x_0][/math].

Доказательство: Предположим противное, пусть такой точки не существует. Рассмотрим произвольную точку [math]y[/math] интервала [math](c;b)[/math]. Тогда минимум функции на отрезке [math][a;y][/math] достигается в некоторой точке [math]z[/math] отрезка [math][a;c][/math]. Действительно, если бы он достигался в некоторой точке [math]z[/math] полуинтервала [math](c;y][/math], то он бы достигался в этой же точке и на отрезке [math][a;z][/math], что противоречит предполагаемому. Но тогда и для каждого [math]y\in(c;b)[/math] минимум [math]f[/math] на отрезке [math][a;y][/math] достигается в точке [math]z[/math], то есть [math]f(x)\geqslant f(z)[/math] для всех [math]x\in[a;b)[/math]. Поскольку [math]f[/math] непрерывна слева в точке [math]b[/math], то, переходя к левому пределу в этом неравенстве, получим [math]f(b)\geqslant f(z)[/math], что противоречит условию [math]f(b)<f(z)[/math].

▼ Решение
Прежде всего заметим, что функция [math]m(x)[/math] убывает на [math][a;b][/math]. Действительно, при [math]x_1<x_2[/math] минимум (здесь и далее под словом "минимум" понимается глобальный минимум) функции [math]f[/math] на отрезке [math][a;x_2][/math] меньше любого значения на отрезке [math][a;x_1][/math], а потому не может превосходить минимума [math]f[/math] на отрезке [math][a;x_1][/math]. Тогда по теореме о пределе монотонной функции у функции [math]m(x)[/math] в каждой точке полуинтервала [math][a;b)[/math] существует правый предел, а в каждой точке полуинтервала [math](a;b][/math] - левый предел.

Покажем, что функция [math]m(x)[/math] непрерывна в некоторой точке [math]x_0\in(a;b)[/math]. Рассмотрим два случая:

1. [math]m(x_0)\ne f(x_0)[/math]. Тогда на полуинтервале [math][a;x_0)[/math] есть такая точка [math]x_1[/math], что [math]m(x_0)=f(x_1)<f(x_0)[/math], а раз функция [math]f[/math] непрерывна в точке [math]x_0[/math], то существует и целая окрестность точки [math]x_0[/math] такая, что [math]f(x)>f(x_1)[/math] для точек [math]x[/math] этой окрестности. Значит [math]m(x)=\min_{[a;x]}f(t)=f(x_1)[/math], то есть в этой окрестности [math]m(x)[/math] есть тождественная константа, поэтому [math]m(x)[/math] непрерывна в [math]x_0[/math].

2. [math]m(x_0)=f(x_0)[/math]. Покажем сначала, что [math]m(x)[/math] непрерывна слева в точке [math]x_0[/math]. Для этого рассмотрим ещё два случая.

2.1. Существует такая точка [math]x_1\in[a;x_0)[/math], что [math]m(x_0)=f(x_1)[/math]. Тогда [math]f(x)\geqslant f(x_1)[/math] при всех [math]x\in[a;x_0][/math], и значит [math]m(x)=f(x_1)[/math] при всех [math]x\in[x_1;x_0][/math], то есть [math]m(x)[/math] есть тождественная константа в левой окрестности [math]x_0[/math]. Значит [math]m(x)[/math] непрерывна слева в точке [math]x_0[/math].

2.2. Не существует такой точки [math]x_1\in[a;x_0)[/math], что [math]m(x_0)=f(x_1)[/math], то есть другими словами [math]f(x_0)<f(x)[/math] для всех [math]x\in[a;x_0)[/math]. Поделим отрезок [math][a;x_0][/math] точкой [math]y_1[/math] пополам. Тогда согласно лемме найдётся такая точка [math]x_1\in(y_1;x_0)[/math], что [math]m(x_1)=f(x_1)[/math]. Поделив отрезок [math][x_1;x_0][/math] пополам точкой [math]y_2[/math] и снова воспользовавшись леммой, получим точку [math]x_2\in(y_2;x_0)[/math] такую, что [math]m(x_2)=f(x_2)[/math] и т. д. Продолжая таким образом, получим в итоге сходящуюся к [math]x_0[/math] последовательность [math]\{x_n\}_{n=1}^{\infty}[/math] такую, что [math]m(x_n)=f(x_n)[/math]. Функция [math]f[/math] непрерывна в точке [math]x_0[/math], поэтому существует [math]\lim_{n\to\infty}m(x_n)=\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(x_0)[/math]. С другой стороны по указанному выше у функции [math]m(x)[/math] в точке [math]x_0[/math] есть левый предел, значит согласно определению предела по Гейне [math]\lim_{x\to x_0-}m(x)=\lim_{n\to\infty}m(x_n)=f(x_0)=m(x_0)[/math], то есть функция [math]m(x)[/math] непрерывна слева в точке [math]x_0[/math].

Покажем теперь, что функция [math]m(x)[/math] непрерывна справа в точке [math]x_0[/math]. Рассмотрим снова два случая.

2.1' Существует такая правая проколотая окрестность [math](x_0;x_0+\delta)[/math] точки [math]x_0[/math], что [math]f(x)\geqslant f(x_0)[/math] для всех [math]x\in(x_0;x_0+\delta)[/math]. Тогда для всех [math]x\in(x_0;x_0+\delta)[/math] выполнено равенство [math]m(x)=\min_{[a;x]}f(t)=\min_{[a;x_0]}f(t)=m(x_0)[/math], то есть [math]m(x)[/math] есть тождественная константа в правой окрестности [math]x_0[/math], и значит она непрерывна справа в [math]x_0[/math].

2.2' В любой правой проколотой окрестности точки [math]x_0[/math] есть такая точка [math]y[/math], что [math]f(y)<f(x_0)[/math]. Рассмотрим некоторую правую проколотую окрестность точки [math]x_0[/math] и точку [math]y_1[/math] с указанным свойством. Так как [math]m(x_0)=f(x_0)[/math], а [math]f(x_0)>f(y_1)[/math], то минимум функции [math]f[/math] на отрезке [math][a;y_1][/math] достигается в некоторой точке [math]x_1\in(x_0;y_1][/math], а значит в этой же точке достигается и минимум [math]f[/math] на отрезке [math][a;x_1][/math], то есть [math]m(x_1)=f(x_1)[/math]. Поделив отрезок [math][x_0;x_1][/math] пополам точкой [math]y_2[/math] и применив те же рассуждения, получим точку [math]x_2\in(x_0;y_2][/math] такую, что [math]m(x_2)=f(x_2)[/math], и т. д. В итоге получим сходящуюся к [math]x_0[/math] последовательность [math]\{x_n\}_{n=1}^{\infty}[/math] такую, что [math]m(x_n)=f(x_n)[/math]. Проведя рассуждения, аналогичные рассужденияем пункта 2.2, для правого предела, получим, что [math]m(x)[/math] непрерывна справа в точке [math]x_0[/math].

Из непрерывности слева и справа следует непрерывность.

Непрерывность справа в точке [math]a[/math] доказывается аналогично пунктам 2.1' и 2.2' (поскольку [math]m(a)=f(a)[/math]), а непрерывность слева в точке [math]b[/math] - пунктам 1, 2.1 и 2.2.


Последний раз редактировалось Human 21 янв 2013, 20:32, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Непрерывность минимума непрерывной функции
СообщениеДобавлено: 21 янв 2013, 20:20 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop писал(а):
[math]\left\|{f_t - f_\tau}\right\| = \mathop{\max}\limits_{\tau \leqslant x \leqslant t}\left|{f\left( x \right)}\right|[/math]


Наверно, должно быть [math]\left\|{f_t - f_\tau}\right\| = \mathop{\max}\limits_{\tau \leqslant x \leqslant t}\left|{f\left( x \right)-f(\tau)}\right|[/math].

Благодарю за решение!
Всё же хотелось бы получить решение без использования теоремы Кантора-Гейне, поскольку эта задача находится в теме про непрерывность (задачник Кудрявцева), а до равномерной непрерывности там ещё далеко.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Непрерывность минимума непрерывной функции
СообщениеДобавлено: 21 янв 2013, 20:25 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human, Вы правы. У меня там в последней формуле опечатка.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Нахождение минимума функции

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

pewpimkin

8

150

11 авг 2023, 21:53

Поиск минимума функции

в форуме Численные методы

Fireman

0

275

21 фев 2019, 00:54

МНК и необходимое условие минимума функции

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

Elizobarra21

0

270

18 май 2014, 13:57

Нахождение минимума функции. Метод Ньютона

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

stylecolor

12

1452

17 окт 2015, 18:38

Доопределение функции до непрерывной

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

delmel

8

1373

22 апр 2015, 09:32

Определение кусочно-непрерывной функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Kirill1986

11

1888

22 авг 2017, 15:51

Пример непрерывной функции без производной

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

genk

0

171

20 мар 2020, 10:54

Ограниченность функции, непрерывной на полуотрезке

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Andy

1

362

17 сен 2017, 14:02

Модуль непрерывности и равномерность непрерывной функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

asdilia

15

710

05 мар 2019, 02:27

Доопределение функции, чтобы в точке она стала непрерывной

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

nanami

1

327

24 дек 2020, 21:03


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 37


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved