Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 6 ] |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| mad_math |
|
|
|
Столкнулась с такой задачей. Найти предел с помощью правила Лопиталя: [math]\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+\operatorname{tg}x}-\sqrt{1+\sin{x}}}{x^3}[/math] Нахождение производных "в лоб" приводит к довольно громоздким выражениям. Может есть какая-то хитрость? Подкиньте идею, пожалуйста. Спасибо за внимание. |
||
| Вернуться к началу | ||
| erjoma |
|
|
|
Возможно стоит сначала домножить на [math]\frac{{\sqrt {1 + \operatorname{tg} x} + \sqrt {1 + \sin x} }}{{\sqrt {1 + \operatorname{tg} x} + \sqrt {1 + \sin x} }}[/math]
|
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали: mad_math |
||
| mad_math |
|
|
|
По-моему, это не очень облегчает задачу. Тогда усложняется производная знаменателя.
|
||
| Вернуться к началу | ||
| erjoma |
|
|
|
[math]\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + \operatorname{tg} x} - \sqrt {1 + \sin x} }}{{{x^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\operatorname{tg} x - \sin x}}{{{x^3}\left( {\sqrt {1 + \operatorname{tg} x} + \sqrt {1 + \sin x} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\operatorname{tg} x - \sin x}}{{{x^3}}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\sqrt {1 + \operatorname{tg} x} + \sqrt {1 + \sin x} }} = \hfill \\ = \frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \cos x}}{{3{x^2}}} = \frac{1}{6}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos x}}{{{x^2}}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\cos }^2}x + \cos x + 1}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{{2x}} = \frac{1}{4} \hfill \\ \end{gathered}[/math]
|
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали: mad_math |
||
| mad_math |
|
|
|
Блин. Не подумала разбить его на два предела.
erjoma, спасибо. ![]() |
||
| Вернуться к началу | ||
| Avgust |
|
|
|
Еще проще - найти ЭБМ числителя по формуле Тейлора:
[math]\sqrt{1+tg(x)}-\sqrt{1+sin(x)} \sim \frac{x^3}{4}[/math] Далее либо применить Лопиталя, либо просто сократить на [math]x^3[/math] ![]() |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали: mad_math |
||
|
[ Сообщений: 6 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |