Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 11 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
squidward |
|
|
[math]{\lim_{n\to \infty}\bigg(\sqrt{\big( 1-{1 \over 2n} \big)^{2n}}\bigg)^n} \cdot (\sqrt e)^n = \lim_{n\to \infty} \frac1{(\sqrt e)^n} \cdot (\sqrt e)^n = \lim_{n\to \infty} 1^n = 1[/math] Вопрос вот в чём: можно ли сначала вычислить предел первого выражения, не учитывая что оно в степени n? Можно ли сократить в конце [math]\sqrt e[/math], получить 1 и уже после этого учесть степень? Короче говоря - можно ли таким образом, "поочередно", вычислить данный предел? Если нет - то как это делается правильно? |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
Так нельзя. Можно, например, так
[math]\mathop{\lim}\limits_{n \to \infty}\left({1 - \frac{1}{{2n}}}\right)^{n^2}e^{\frac{n}{2}}= \mathop{\lim}\limits_{n \to \infty}e^{\frac{n}{2}+ n^2 \ln \left({1 - \frac{1}{{2n}}}\right)}= \mathop{\lim}\limits_{n \to \infty}e^{\frac{n}{2}+ n^2 \left({- \frac{1}{{2n}}- \frac{1}{{8n^2}}+ O\left({\frac{1}{{n^3}}}\right)}\right)}= \mathop{\lim}\limits_{n \to \infty}e^{- \frac{1}{8}+ O\left({\frac{1}{n}}\right)}= e^{- \frac{1}{8}}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: mad_math, squidward |
||
squidward |
|
|
Спасибо.
А можно всё же точнее, что здесь не так? Этим нельзя было пользоваться? - [math]$$ \lim_{n\to \infty}\sqrt{\big( 1-{1 \over 2n}\big)^{2n} } = \lim_{n\to \infty} \frac1{\sqrt e} $$[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Human |
|
|
А каким Вы правилом пользовались, когда заменяли в пределе выражение [math]\left(\sqrt{\left( 1-{1 \over 2n}\right)^{2n} }\right)^n[/math] на [math]\frac1{({\sqrt e})^n}[/math]? Есть, например, теоремы о пределе суммы, произведения. Есть правило, по которому множители можно заменять на эквивалентные, но эти выражения не эквивалентны. Тогда что?
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: mad_math |
||
squidward |
|
|
Human
Эти - нет, но если добавите с каждой стороны уравнения "[math]lim_{n\to \infty}[/math]" - то, если я не ошибаюсь, они эквивалентны. Ведь известно, что: [math]$$ \lim_{n\to \infty}\big( 1-{1 \over 2n}\big)^{2n} = \lim_{n\to \infty} \frac1{e} $$[/math] (это доказывается через более известное равенство: [math]$$ \lim_{n\to \infty}\big( 1+{1 \over 2n}\big)^{2n} = \lim_{n\to \infty} e $$[/math] ) Следовательно - (вот в этом я менее уверенна) - можно возвести обе стороны в степень n/2. |
||
Вернуться к началу | ||
Human |
|
|
squidward писал(а): Следовательно - (вот в этом я менее уверенна) - можно возвести обе стороны в степень n/2. А есть правило, согласно которому выражения сохраняют эквивалентность при возведении в степень, зависящую от [math]n[/math]? [math]2^{1+\frac1n}\sim2[/math] [math]2^{n+1}=2\cdot2^n\sim 2^n[/math] ? |
||
Вернуться к началу | ||
squidward |
|
|
Human
А разве нет? [math]$$ a=b => a^n=b^n $$[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
squidward |
|
|
Human
В Вашем примере степень зависела от n изначально. |
||
Вернуться к началу | ||
Human |
|
|
squidward писал(а): Human А разве нет? [math]$$ a=b => a^n=b^n $$[/math] Так, Вы знаете, что такое эквивалентность последовательностей? squidward писал(а): В Вашем примере степень зависела от n изначально. Э-э... в Вашем тоже. Или Вы хотите сказать, что в выражении [math]\left(1-\frac1{2n}\right)^n[/math] нет степени [math]n[/math]? |
||
Вернуться к началу | ||
squidward |
|
|
[quote="Human"]Э-э... в Вашем тоже. [quote="Human"]
Ой... Пардон. Я слишком долго сижу над этой задачей, и совсем запуталась... |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 11 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 27 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |