Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Вычислить предел
СообщениеДобавлено: 10 дек 2012, 14:41 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
09 дек 2012, 20:32
Сообщений: 11
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Получила вот такое выражение, но не могу точно сказать, законны ли следующие действия:

[math]{\lim_{n\to \infty}\bigg(\sqrt{\big( 1-{1 \over 2n} \big)^{2n}}\bigg)^n} \cdot (\sqrt e)^n = \lim_{n\to \infty} \frac1{(\sqrt e)^n} \cdot (\sqrt e)^n = \lim_{n\to \infty} 1^n = 1[/math]

Вопрос вот в чём: можно ли сначала вычислить предел первого выражения, не учитывая что оно в степени n? Можно ли сократить в конце [math]\sqrt e[/math], получить 1 и уже после этого учесть степень?
Короче говоря - можно ли таким образом, "поочередно", вычислить данный предел? Если нет - то как это делается правильно?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить предел
СообщениеДобавлено: 10 дек 2012, 18:17 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Так нельзя. Можно, например, так
[math]\mathop{\lim}\limits_{n \to \infty}\left({1 - \frac{1}{{2n}}}\right)^{n^2}e^{\frac{n}{2}}= \mathop{\lim}\limits_{n \to \infty}e^{\frac{n}{2}+ n^2 \ln \left({1 - \frac{1}{{2n}}}\right)}= \mathop{\lim}\limits_{n \to \infty}e^{\frac{n}{2}+ n^2 \left({- \frac{1}{{2n}}- \frac{1}{{8n^2}}+ O\left({\frac{1}{{n^3}}}\right)}\right)}= \mathop{\lim}\limits_{n \to \infty}e^{- \frac{1}{8}+ O\left({\frac{1}{n}}\right)}= e^{- \frac{1}{8}}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
mad_math, squidward
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить предел
СообщениеДобавлено: 10 дек 2012, 18:34 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
09 дек 2012, 20:32
Сообщений: 11
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо.
А можно всё же точнее, что здесь не так? Этим нельзя было пользоваться? - [math]$$ \lim_{n\to \infty}\sqrt{\big( 1-{1 \over 2n}\big)^{2n} } = \lim_{n\to \infty} \frac1{\sqrt e} $$[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить предел
СообщениеДобавлено: 10 дек 2012, 18:59 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А каким Вы правилом пользовались, когда заменяли в пределе выражение [math]\left(\sqrt{\left( 1-{1 \over 2n}\right)^{2n} }\right)^n[/math] на [math]\frac1{({\sqrt e})^n}[/math]? Есть, например, теоремы о пределе суммы, произведения. Есть правило, по которому множители можно заменять на эквивалентные, но эти выражения не эквивалентны. Тогда что?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить предел
СообщениеДобавлено: 10 дек 2012, 19:15 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
09 дек 2012, 20:32
Сообщений: 11
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human
Эти - нет, но если добавите с каждой стороны уравнения "[math]lim_{n\to \infty}[/math]" - то, если я не ошибаюсь, они эквивалентны. Ведь известно, что:
[math]$$ \lim_{n\to \infty}\big( 1-{1 \over 2n}\big)^{2n} = \lim_{n\to \infty} \frac1{e} $$[/math]
(это доказывается через более известное равенство: [math]$$ \lim_{n\to \infty}\big( 1+{1 \over 2n}\big)^{2n} = \lim_{n\to \infty} e $$[/math] )
Следовательно - (вот в этом я менее уверенна) - можно возвести обе стороны в степень n/2.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить предел
СообщениеДобавлено: 10 дек 2012, 19:21 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
squidward писал(а):
Следовательно - (вот в этом я менее уверенна) - можно возвести обе стороны в степень n/2.


А есть правило, согласно которому выражения сохраняют эквивалентность при возведении в степень, зависящую от [math]n[/math]?

[math]2^{1+\frac1n}\sim2[/math]

[math]2^{n+1}=2\cdot2^n\sim 2^n[/math] ?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить предел
СообщениеДобавлено: 10 дек 2012, 19:32 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
09 дек 2012, 20:32
Сообщений: 11
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human
А разве нет? [math]$$ a=b => a^n=b^n $$[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить предел
СообщениеДобавлено: 10 дек 2012, 19:33 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
09 дек 2012, 20:32
Сообщений: 11
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human
В Вашем примере степень зависела от n изначально.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить предел
СообщениеДобавлено: 10 дек 2012, 19:42 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
squidward писал(а):
Human
А разве нет? [math]$$ a=b => a^n=b^n $$[/math]


Так, Вы знаете, что такое эквивалентность последовательностей?

squidward писал(а):
В Вашем примере степень зависела от n изначально.


Э-э... в Вашем тоже. Или Вы хотите сказать, что в выражении [math]\left(1-\frac1{2n}\right)^n[/math] нет степени [math]n[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить предел
СообщениеДобавлено: 10 дек 2012, 19:52 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
09 дек 2012, 20:32
Сообщений: 11
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[quote="Human"]Э-э... в Вашем тоже. [quote="Human"]
Ой... Пардон. Я слишком долго сижу над этой задачей, и совсем запуталась...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 11 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Вычислить предел выражения, используя 1 замечательный предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

syncedzz

7

453

13 окт 2022, 15:55

Вычислить предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

mf_

3

289

26 окт 2022, 22:05

Вычислить предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

gpruvl

5

355

20 ноя 2022, 14:59

Вычислить предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

gleb2000

1

164

22 окт 2018, 14:52

Вычислить предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

AntoxaBarin

1

184

20 ноя 2022, 19:13

Вычислить предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

kirya123

2

272

13 окт 2022, 22:39

Вычислить предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

vladian

2

457

14 дек 2014, 21:02

Вычислить предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

katrin123

3

362

25 ноя 2015, 18:08

Вычислить предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Shunya

1

519

14 янв 2015, 19:50

Вычислить предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

md_house

1

195

23 дек 2017, 23:01


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved