Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти предел, используя правило Лопиталя
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=19928
Страница 1 из 1

Автор:  Yana Kostyuk [ 30 ноя 2012, 21:42 ]
Заголовок сообщения:  Найти предел, используя правило Лопиталя

Найти предел, используя правило Лопиталя

1) [math]\lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{\operatorname{tg}x}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}}[/math];

2) [math]\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\pi-2\operatorname{arctg}x}{e^{3\!\not{\phantom{|}}\,\, x}-1}[/math].

спасибо

Автор:  Alexdemath [ 01 дек 2012, 00:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти предел, используя правило Лопиталя

Использовать следствия первого и второго замечательных пределов и правило Лопиталя

[math]\begin{aligned}\lim\limits_{x\to0}\left(\frac{\operatorname{tg}x}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}}&= \lim\limits_{x\to0}\left(1+\frac{\operatorname{tg}x}{x}-1\right)^{\frac{1}{\frac{\operatorname{tg}x}{x}-1}\cdot \frac{\frac{\operatorname{tg}x}{x}-1}{x^2}}= \exp\lim\limits_{x\to0}\frac{\operatorname{tg}x-x}{x^3}=\\ &=\exp\lim\limits_{x\to0}\frac{(\operatorname{tg}x-x)'}{(x^3)'}= \exp\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{1}{\cos^2x}-1}{3x^2}=\\ &=\exp\lim\limits_{x\to0}\frac{(1+\operatorname{tg}^2x)-1}{3x^2}= \exp\left(\frac{1}{3} \lim\limits_{x\to0}\left(\frac{\operatorname{tg}x}{x}\right)^2\right)=\\ &=\exp\left(\frac{1}{3}\cdot 1^2\right)= e^{1\!\not{\phantom{|}}\,\, 3}\end{aligned}[/math]

Автор:  Alexdemath [ 01 дек 2012, 00:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти предел, используя правило Лопиталя

Yana Kostyuk писал(а):
Найти предел, используя правило Лопиталя
2) [math]\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\pi-2\operatorname{arctg}x}{e^{3\!\not{\phantom{|}}\,\, x}-1}[/math].

Для начала найдите производные числителя и знаменателя, то есть

[math](\pi-2\operatorname{arctg}x)'=[/math]
и
[math](e^{3\!\not{\phantom{|}}\,\,x}-1)'=[/math]

Автор:  Yana Kostyuk [ 02 дек 2012, 16:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти предел, используя правило Лопиталя

(п - 2arctg x)'= 0 - (2/(1+(x^2)) = -2/(1+(x^2))
(e^(3/x)-1)'= 3e^(3/x)

Автор:  Alexdemath [ 02 дек 2012, 18:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти предел, используя правило Лопиталя

Yana Kostyuk писал(а):
(e^(3/x)-1)'= 3e^(3/x)

Неверно. Это сложная функция, [math](e^{g(x)})'=e^{g(x)}\cdot g'(x)[/math].

Автор:  Yana Kostyuk [ 02 дек 2012, 19:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти предел, используя правило Лопиталя

первое, я так понимаю, правильно
2) (e^(3/x)-1)'= (-3e^(3/x))/(x^2)

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/