Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти предел
СообщениеДобавлено: 29 ноя 2012, 23:06 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
29 ноя 2012, 23:01
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите пожалуйста решить этот предел, буду очень благодарна...
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти предел
СообщениеДобавлено: 30 ноя 2012, 12:52 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
21 авг 2011, 14:49
Сообщений: 5279
Cпасибо сказано: 315
Спасибо получено:
2299 раз в 1966 сообщениях
Очков репутации: 520

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to 6} \frac{{{{\left( {2 + x} \right)}^{\frac{1}{3}}} - {{\left( {14 + 3x} \right)}^{\frac{1}{5}}}}}{{{{\left( {10 + x} \right)}^{\frac{1}{4}}} - {{\left( {4 + 10x} \right)}^{\frac{1}{6}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{{{\left( {8 + t} \right)}^{\frac{1}{3}}} - {{\left( {32 + 3t} \right)}^{\frac{1}{5}}}}}{{{{\left( {16 + t} \right)}^{\frac{1}{4}}} - {{\left( {64 + 10t} \right)}^{\frac{1}{6}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{{{\left( {1 + \frac{t}{8}} \right)}^{\frac{1}{3}}} - {{\left( {1 + \frac{{3t}}{{32}}} \right)}^{\frac{1}{5}}}}}{{{{\left( {1 + \frac{t}{{16}}} \right)}^{\frac{1}{4}}} - {{\left( {1 + \frac{{10t}}{{64}}} \right)}^{\frac{1}{6}}}}} = \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{1 + \frac{1}{3}\frac{t}{8} + o\left( t \right) - 1 - \frac{1}{5}\frac{{3t}}{{32}} + o\left( t \right)}}{{1 + \frac{1}{4}\frac{t}{{16}} + o\left( t \right) - 1 - \frac{1}{6}\frac{{10t}}{{64}} + o\left( t \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\frac{t}{{24}} - \frac{{3t}}{{160}}}}{{\frac{t}{{64}} - \frac{{5t}}{{192}}}} = \frac{{\frac{1}{3} - \frac{3}{{20}}}}{{\frac{1}{8} - \frac{5}{{24}}}} = \frac{{11 \cdot 24}}{{60 \cdot \left( { - 2} \right)}} = - \frac{{11}}{5} \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Или по правилу Лопиталя.
[math]\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to 6} \frac{{{{\left( {2 + x} \right)}^{\frac{1}{3}}} - {{\left( {14 + 3x} \right)}^{\frac{1}{5}}}}}{{{{\left( {10 + x} \right)}^{\frac{1}{4}}} - {{\left( {4 + 10x} \right)}^{\frac{1}{6}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 6} \frac{{\frac{1}{3}{{\left( {2 + x} \right)}^{ - \frac{2}{3}}} - \frac{3}{5}{{\left( {14 + 3x} \right)}^{ - \frac{4}{5}}}}}{{\frac{1}{4}{{\left( {10 + x} \right)}^{ - \frac{3}{4}}} - \frac{5}{3}{{\left( {4 + 10x} \right)}^{ - \frac{5}{6}}}}} = \frac{{\frac{1}{3}\frac{1}{4} - \frac{3}{5}\frac{1}{{16}}}}{{\frac{1}{4}\frac{1}{8} - \frac{5}{3}\frac{1}{{32}}}} = \hfill \\ = \frac{{\frac{1}{3} - \frac{3}{5}\frac{1}{4}}}{{\frac{1}{8} - \frac{5}{3}\frac{1}{8}}} = \frac{{\frac{1}{3} - \frac{3}{{20}}}}{{\frac{1}{8} - \frac{5}{{24}}}} = \frac{{11 \cdot 24}}{{60 \cdot \left( { - 2} \right)}} = - \frac{{11}}{5} \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти предел
СообщениеДобавлено: 01 дек 2012, 10:46 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 апр 2012, 12:27
Сообщений: 30
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
4 раз в 4 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Простите пожалуйста, мне непонятно, какое преобразование приводит к этому выражению:
[math]\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{{{(8 + t)}^{\frac{1}{3}}} - {{(32 + 3t)}^{\frac{1}{5}}}}}{{{{(16 + t)}^{\frac{1}{4}}} - {{(64 + 10t)}^{\frac{1}{6}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{{{(1 + \frac{t}{8})}^{\frac{1}{3}}} - {{(1 + \frac{{3t}}{{32}})}^{\frac{1}{5}}}}}{{{{(1 + \frac{t}{{16}})}^{\frac{1}{4}}} - {{(1 + \frac{{10t}}{{64}})}^{\frac{1}{6}}}}[/math]
И каким образом раскрыты скобки в следующем выражении:
[math]\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{{{(1 + \frac{t}{8})}^{\frac{1}{3}}} - {{(1 + \frac{{3t}}{{32}})}^{\frac{1}{5}}}}}{{{{(1 + \frac{t}{{16}})}^{\frac{1}{4}}} - {{(1 + \frac{{10t}}{{64}})}^{\frac{1}{6}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{1 + \frac{1}{3}\frac{t}{8} + o(t) - 1 - \frac{1}{5}\frac{{3t}}{{32}} + o(t)}}{{1 + \frac{1}{4}\frac{t}{{16}} + o(t) - 1 - \frac{1}{6}\frac{{10t}}{{64}} + o(t)}}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти предел
СообщениеДобавлено: 01 дек 2012, 11:05 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
21 авг 2011, 14:49
Сообщений: 5279
Cпасибо сказано: 315
Спасибо получено:
2299 раз в 1966 сообщениях
Очков репутации: 520

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Shkolnik
1) разделите на 2 и числитель, и знаменатель.
2) каждое слагаемое разлагается в ряд Маклорена.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти предел
СообщениеДобавлено: 01 дек 2012, 11:47 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 апр 2012, 12:27
Сообщений: 30
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
4 раз в 4 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти предел
СообщениеДобавлено: 01 дек 2012, 11:59 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Это типичный пример на применение ЭБМ [math]\quad (1+u)^k -1 \sim ku \quad[/math] при [math]u \to 0[/math]

[math]= \lim \limits_{t \to 0}\frac {\big (2+t+6 \big )^{\frac 13}-\big (14+3t+18 \big )^{\frac 15}}{\big (10+t+6 \big )^{\frac 14}-\big (4+10t+60 \big )^{\frac 16}}=[/math]

[math]= \lim \limits_{t \to 0}\frac {2\big (\frac t8+1 \big )^{\frac 13}-2 \big (\frac{3t}{32}+1 \big )^{\frac 15}}{2 \big (\frac{t}{16}+1 \big )^{\frac 14}-2 \big (\frac{5t}{32}+1 \big )^{\frac 16}}=[/math]

[math]= \lim \limits_{t \to 0}\frac {\big (\frac t8+1 \big )^{\frac 13}-1- \big (\frac{3t}{32}+1 \big )^{\frac 15}+1}{ \big (\frac{t}{16}+1 \big )^{\frac 14}-1- \big (\frac{5t}{32}+1 \big )^{\frac 16}+1}=[/math]

[math]= \lim \limits_{t \to 0}\frac {\frac t8 \cdot \frac 13-\frac{3t}{32}\cdot \frac 15}{\frac{t}{16}\cdot \frac 14-\frac{5t}{32}\cdot \frac 16}= \frac{\frac{1}{24}-\frac{3}{160}}{\frac{1}{64}-\frac{5}{192}}=-\frac{11}{5}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти предел
СообщениеДобавлено: 01 дек 2012, 12:14 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
21 авг 2011, 14:49
Сообщений: 5279
Cпасибо сказано: 315
Спасибо получено:
2299 раз в 1966 сообщениях
Очков репутации: 520

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не уверен, что в сумме слагаемые можно заменять на ЭБМ, иначе бы я так и сделал бы.
Сомневаюсь, что это верно.

Вот пример.
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + x} - \sqrt {1 + 2x} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + x} - 1 - \sqrt {1 + 2x} + 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x - 2x}}{x} = - 1[/math]

Однако правильный ответ [math]-\frac{1}{2}[/math]


Последний раз редактировалось Yurik 01 дек 2012, 12:25, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти предел
СообщениеДобавлено: 01 дек 2012, 12:25 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В том-то и загадка: иногда нельзя, а бывает, что и можно... Ответ же верный.
В Вашем примере слагаемые только в числителе...


Последний раз редактировалось Avgust 01 дек 2012, 12:27, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти предел
СообщениеДобавлено: 01 дек 2012, 12:26 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
21 авг 2011, 14:49
Сообщений: 5279
Cпасибо сказано: 315
Спасибо получено:
2299 раз в 1966 сообщениях
Очков репутации: 520

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
Да вот-то и загадка: иногда нельзя, а бывает, что и можно... Ответ же верный.

Стало быть, нельзя.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти предел
СообщениеДобавлено: 01 дек 2012, 12:29 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вы ошиблись в последней дроби. Надо не [math]x-2x \quad[/math]а [math]\frac x2-x[/math]. Так что получится [math]-\frac 12[/math]

Стало быть, можно :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 16 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Countdiuku

6

168

13 янв 2020, 15:50

Найти предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Valerika95

1

242

16 апр 2014, 12:20

Найти предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

kicultanya

1

299

02 мар 2018, 07:39

Найти предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Laind

7

255

19 ноя 2017, 23:41

Найти предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Lolin

5

468

16 дек 2019, 01:49

Как найти предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

uluana_v

3

437

27 фев 2016, 18:57

Найти предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Webmex

15

562

27 дек 2018, 09:33

Найти предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Sigma

4

370

29 окт 2017, 17:55

Найти предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

kicultanya

4

270

29 окт 2017, 17:24

Найти предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Hermann 2018

3

313

16 дек 2018, 22:56


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 26


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved