Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 16 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Guiltless |
|
|
|
||
Вернуться к началу | ||
Yurik |
|
|
[math]\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to 6} \frac{{{{\left( {2 + x} \right)}^{\frac{1}{3}}} - {{\left( {14 + 3x} \right)}^{\frac{1}{5}}}}}{{{{\left( {10 + x} \right)}^{\frac{1}{4}}} - {{\left( {4 + 10x} \right)}^{\frac{1}{6}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{{{\left( {8 + t} \right)}^{\frac{1}{3}}} - {{\left( {32 + 3t} \right)}^{\frac{1}{5}}}}}{{{{\left( {16 + t} \right)}^{\frac{1}{4}}} - {{\left( {64 + 10t} \right)}^{\frac{1}{6}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{{{\left( {1 + \frac{t}{8}} \right)}^{\frac{1}{3}}} - {{\left( {1 + \frac{{3t}}{{32}}} \right)}^{\frac{1}{5}}}}}{{{{\left( {1 + \frac{t}{{16}}} \right)}^{\frac{1}{4}}} - {{\left( {1 + \frac{{10t}}{{64}}} \right)}^{\frac{1}{6}}}}} = \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{1 + \frac{1}{3}\frac{t}{8} + o\left( t \right) - 1 - \frac{1}{5}\frac{{3t}}{{32}} + o\left( t \right)}}{{1 + \frac{1}{4}\frac{t}{{16}} + o\left( t \right) - 1 - \frac{1}{6}\frac{{10t}}{{64}} + o\left( t \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\frac{t}{{24}} - \frac{{3t}}{{160}}}}{{\frac{t}{{64}} - \frac{{5t}}{{192}}}} = \frac{{\frac{1}{3} - \frac{3}{{20}}}}{{\frac{1}{8} - \frac{5}{{24}}}} = \frac{{11 \cdot 24}}{{60 \cdot \left( { - 2} \right)}} = - \frac{{11}}{5} \hfill \\ \end{gathered}[/math]
Или по правилу Лопиталя. [math]\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to 6} \frac{{{{\left( {2 + x} \right)}^{\frac{1}{3}}} - {{\left( {14 + 3x} \right)}^{\frac{1}{5}}}}}{{{{\left( {10 + x} \right)}^{\frac{1}{4}}} - {{\left( {4 + 10x} \right)}^{\frac{1}{6}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 6} \frac{{\frac{1}{3}{{\left( {2 + x} \right)}^{ - \frac{2}{3}}} - \frac{3}{5}{{\left( {14 + 3x} \right)}^{ - \frac{4}{5}}}}}{{\frac{1}{4}{{\left( {10 + x} \right)}^{ - \frac{3}{4}}} - \frac{5}{3}{{\left( {4 + 10x} \right)}^{ - \frac{5}{6}}}}} = \frac{{\frac{1}{3}\frac{1}{4} - \frac{3}{5}\frac{1}{{16}}}}{{\frac{1}{4}\frac{1}{8} - \frac{5}{3}\frac{1}{{32}}}} = \hfill \\ = \frac{{\frac{1}{3} - \frac{3}{5}\frac{1}{4}}}{{\frac{1}{8} - \frac{5}{3}\frac{1}{8}}} = \frac{{\frac{1}{3} - \frac{3}{{20}}}}{{\frac{1}{8} - \frac{5}{{24}}}} = \frac{{11 \cdot 24}}{{60 \cdot \left( { - 2} \right)}} = - \frac{{11}}{5} \hfill \\ \end{gathered}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Shkolnik |
|
|
Простите пожалуйста, мне непонятно, какое преобразование приводит к этому выражению:
[math]\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{{{(8 + t)}^{\frac{1}{3}}} - {{(32 + 3t)}^{\frac{1}{5}}}}}{{{{(16 + t)}^{\frac{1}{4}}} - {{(64 + 10t)}^{\frac{1}{6}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{{{(1 + \frac{t}{8})}^{\frac{1}{3}}} - {{(1 + \frac{{3t}}{{32}})}^{\frac{1}{5}}}}}{{{{(1 + \frac{t}{{16}})}^{\frac{1}{4}}} - {{(1 + \frac{{10t}}{{64}})}^{\frac{1}{6}}}}[/math] И каким образом раскрыты скобки в следующем выражении: [math]\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{{{(1 + \frac{t}{8})}^{\frac{1}{3}}} - {{(1 + \frac{{3t}}{{32}})}^{\frac{1}{5}}}}}{{{{(1 + \frac{t}{{16}})}^{\frac{1}{4}}} - {{(1 + \frac{{10t}}{{64}})}^{\frac{1}{6}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{1 + \frac{1}{3}\frac{t}{8} + o(t) - 1 - \frac{1}{5}\frac{{3t}}{{32}} + o(t)}}{{1 + \frac{1}{4}\frac{t}{{16}} + o(t) - 1 - \frac{1}{6}\frac{{10t}}{{64}} + o(t)}}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Yurik |
|
|
Shkolnik
1) разделите на 2 и числитель, и знаменатель. 2) каждое слагаемое разлагается в ряд Маклорена. |
||
Вернуться к началу | ||
Shkolnik |
|
|
Спасибо
|
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Это типичный пример на применение ЭБМ [math]\quad (1+u)^k -1 \sim ku \quad[/math] при [math]u \to 0[/math]
[math]= \lim \limits_{t \to 0}\frac {\big (2+t+6 \big )^{\frac 13}-\big (14+3t+18 \big )^{\frac 15}}{\big (10+t+6 \big )^{\frac 14}-\big (4+10t+60 \big )^{\frac 16}}=[/math] [math]= \lim \limits_{t \to 0}\frac {2\big (\frac t8+1 \big )^{\frac 13}-2 \big (\frac{3t}{32}+1 \big )^{\frac 15}}{2 \big (\frac{t}{16}+1 \big )^{\frac 14}-2 \big (\frac{5t}{32}+1 \big )^{\frac 16}}=[/math] [math]= \lim \limits_{t \to 0}\frac {\big (\frac t8+1 \big )^{\frac 13}-1- \big (\frac{3t}{32}+1 \big )^{\frac 15}+1}{ \big (\frac{t}{16}+1 \big )^{\frac 14}-1- \big (\frac{5t}{32}+1 \big )^{\frac 16}+1}=[/math] [math]= \lim \limits_{t \to 0}\frac {\frac t8 \cdot \frac 13-\frac{3t}{32}\cdot \frac 15}{\frac{t}{16}\cdot \frac 14-\frac{5t}{32}\cdot \frac 16}= \frac{\frac{1}{24}-\frac{3}{160}}{\frac{1}{64}-\frac{5}{192}}=-\frac{11}{5}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Yurik |
|
|
Не уверен, что в сумме слагаемые можно заменять на ЭБМ, иначе бы я так и сделал бы.
Сомневаюсь, что это верно. Вот пример. [math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + x} - \sqrt {1 + 2x} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + x} - 1 - \sqrt {1 + 2x} + 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x - 2x}}{x} = - 1[/math] Однако правильный ответ [math]-\frac{1}{2}[/math] Последний раз редактировалось Yurik 01 дек 2012, 12:25, всего редактировалось 1 раз. |
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
В том-то и загадка: иногда нельзя, а бывает, что и можно... Ответ же верный.
В Вашем примере слагаемые только в числителе... Последний раз редактировалось Avgust 01 дек 2012, 12:27, всего редактировалось 1 раз. |
||
Вернуться к началу | ||
Yurik |
|
|
Avgust писал(а): Да вот-то и загадка: иногда нельзя, а бывает, что и можно... Ответ же верный. Стало быть, нельзя. |
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Вы ошиблись в последней дроби. Надо не [math]x-2x \quad[/math]а [math]\frac x2-x[/math]. Так что получится [math]-\frac 12[/math]
Стало быть, можно |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 16 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 26 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |