Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вычислить предел
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=19885
Страница 1 из 2

Автор:  bu4a [ 29 ноя 2012, 15:46 ]
Заголовок сообщения:  Вычислить предел

Помогите пожалуйста, добрые люди)) если можно, решение киньте картинкой. . Заранее огромное спасибо)

Вложения:
3.png
3.png [ 2 Кб | Просмотров: 414 ]

Автор:  bu4a [ 29 ноя 2012, 15:49 ]
Заголовок сообщения:  Вычислить предел функции

Помогите пожалуйста, добрые люди)) если можно, решение киньте картинкой. . Заранее огромное спасибо)

Вложения:
.png
.png [ 2.28 Кб | Просмотров: 389 ]

Автор:  bu4a [ 29 ноя 2012, 15:51 ]
Заголовок сообщения:  Вычислить предел

Помогите, завтра нужно сдать) спасибо большое заранее)

Вложения:
.png
.png [ 2.08 Кб | Просмотров: 391 ]

Автор:  Yurik [ 29 ноя 2012, 16:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить предел функции

[math]...=\frac{1}{2}- \infty =- \infty[/math]

Автор:  Yurik [ 29 ноя 2012, 17:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить предел

[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + {x^2}} \right)^{\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + {x^2}} \right)^{\frac{1}{{{x^2}}}}}{\left( {1 + {x^2}} \right)^{\frac{1}{{{x^3}}}}} = \left\{ \begin{gathered} e \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 0 + 0} {\left[ {{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^{\frac{1}{{{x^2}}}}}} \right]^{\frac{1}{x}}} = e \cdot {e^\infty } = \infty \hfill \\ e \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 0 - 0} {\left[ {{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^{\frac{1}{{{x^2}}}}}} \right]^{\frac{1}{x}}} = e \cdot {e^{ - \infty }} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.[/math]

Автор:  Andy [ 29 ноя 2012, 17:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить предел

bu4a
По-моему, можно сделать так:
[math]\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\cos(n+1)}{n^2}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\cos n \cos 1 - \sin n \sin 1}{n^2}=\cos 1\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\cos n}{n^2}-\sin 1\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sin n}{n^2},[/math]

но
[math]-\frac{1}{n^2}\le\frac{\cos n}{n^2}\le\frac{1}{n^2},[/math]

[math]\lim\limits_{n\to\infty}\bigg(-\frac{1}{n^2}\bigg)\le\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\cos n}{n^2}\le\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^2},[/math]

[math]0\le\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\cos n}{n^2}\le0~\Rightarrow~\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\cos n}{n^2}=0,[/math]

[math]-\frac{1}{n^2}\le\frac{\sin n}{n^2}\le\frac{1}{n^2},[/math]

[math]\lim\limits_{n\to\infty}\bigg(-\frac{1}{n^2}\bigg)\le\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sin n}{n^2}\le\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^2},[/math]

[math]0\le\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sin n}{n^2}\le0~\Rightarrow~\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sin n}{n^2}=0,[/math]

поэтому
[math]\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\cos(n+1)}{n^2}=\cos 1\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\cos n}{n^2}-\sin 1\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sin n}{n^2}=\cos 1\cdot 0-\sin 1\cdot 0=0.[/math]

Автор:  andrei [ 29 ноя 2012, 18:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить предел

[math]- \frac{ 1 }{ n^{2} } \leqslant \frac{ cos(n+1) }{ n^{2} } \leqslant \frac{ 1 }{ n^{2} }[/math]

Автор:  Avgust [ 29 ноя 2012, 18:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить предел

Решается все гораздо проще:

[math]\lim\limits_{n \to \infty}\frac{\cos(n+1)}{n^2}=\lim\limits_{t \to 0}t^2 \cos \bigg (1+\frac 1t \bigg )=\lim\limits_{t \to 0}t^2\bigg [ \cos \bigg (1+\frac 1t \bigg )-1+1\bigg ]=[/math]

[math]= -\lim\limits_{t \to 0}t^2 \bigg [1-\cos \bigg (1+\frac 1t \bigg )\bigg ]+\lim\limits_{t \to 0}t^2 =-\lim\limits_{t \to 0}t^2 \cdot \frac 12 \bigg (1+\frac 1t \bigg )^2=0[/math]

Автор:  Andy [ 29 ноя 2012, 18:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить предел

bu4a
Как справедливо заметил andrei, можно поступить так:
[math]-\frac{1}{n^2}\le\frac{\cos(n+1)}{n^2}\le\frac{1}{n^2},[/math]

[math]\lim\limits_{n\to\infty}\bigg(-\frac{1}{n^2}\bigg)\le\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\cos(n+1)}{n^2}\le\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^2},[/math]

[math]0\le\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\cos(n+1)}{n^2}\le0~\Rightarrow~\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\cos(n+1)}{n^2}=0.[/math]

:oops:

Автор:  Avgust [ 29 ноя 2012, 20:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить предел

Автор почему-то просил выслать решение картинкой. Выполняю его просьбу. Первый предел:

Изображение

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/