Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Может ли непрерывная функция п.в. совпадать с разрывной?
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=19690
Страница 2 из 2

Автор:  Free Dreamer [ 27 ноя 2012, 02:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Может ли непрерывная функция п.в. совпадать с разрывной?

Извините за задержку с ответом. Был немного занят - пришлось вопрос отложить.

Т.е. мы наклдываем на функцию ограничения? Чтобы у нас в любой окрестности точки [math]a[/math], нашлись два множества положительной меры указанного вида, похоже, нужно, чтобы:
1) сама функция должна быть задана на множестве положительной меры
2) точка [math]a[/math] не должна быть краевой точкой области определения: например, если функция на [math][0; 1][/math] равна нулю, а в единице - равна единице, то она, в моём понимании, имеет неустранимый разрыв, но подобрать множества [math]A[/math] и [math]B[/math] мы не сможем

Нам давали определение скачка такое:
"Если у функции [math]f[/math] в точке [math]x_0[/math] существуют пределы слева и справа, но не равны друг другу, то говорят, что функция терпит в этой точке скачок и величину [math]f(x_0 +0) - f(x_0 - 0)[/math] называют скачком функции [math]f[/math] в точке [math]x_0[/math]".

Вроде бы всё хорошо, если функция задана на отрезке и имеет единственную точку разрыва во внутренности отрезка. Тогда в качестве [math]\delta[/math] можно выбрать половину абсолютной величины скачка. Тогда в любой окрестности точки [math]a[/math] выберем интервал, который входит вместе с [math]a[/math] в эту окрестность - и его "левая" и "правая" половины имеют положительную меру и удовлетворяют условиям на множества [math]A[/math] и [math]B[/math], причём даже со строгим неравенством, насколько я понимаю.
Если точек разрыва конечное число, то разобьём множество определения на такие интервалы или отрезки, что на каждом из них функция непрерывна всюду, кроме одной точки - и применим рассуждения выше.
А что будем делать, если точек разрыва счётное множество или они "на краю" множества определения?

Страница 2 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/