| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Может ли непрерывная функция п.в. совпадать с разрывной? http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=19690 |
Страница 1 из 2 |
| Автор: | Free Dreamer [ 23 ноя 2012, 01:45 ] |
| Заголовок сообщения: | Может ли непрерывная функция п.в. совпадать с разрывной? |
Здравствуйте. Возник следующий вопрос: может ли непрерывная функция совпадать почти всюду с разрывной функцией? 1) Если у разрывной конечное или счётное множество устранимых разрывов, то вроде бы всё хорошо: берём график любой непрерывной функции, произвольно переопределяем n точек - получаем, что хотели. 2) Верно ли такое же рассуждение для несчётного множества точек устранимого разрыва? Правильно ли я понимаю, что примером может быть лестница Кантора, в которой на Канторовом множестве значения функции заменили, например, на нули? Или не всё так просто? 3) Интуитивно кажется, что если у функции разрыв неустранимый, то никакая непрерывная ей эквивалентна быть не может. Я жестоко ошибаюсь, или это действительно так? Если так, то подскажите, как доказать? Заранее большущее-пребольшущее спасибо. |
|
| Автор: | Prokop [ 23 ноя 2012, 19:02 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Может ли непрерывная функция п.в. совпадать с разрывной? |
Советую Вам прочитать книгу И.П. Натансона, Теория функций вещественного переменного. Там найдёте ответы на многие вопросы. |
|
| Автор: | MihailM [ 23 ноя 2012, 21:35 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Может ли непрерывная функция п.в. совпадать с разрывной? |
функция Дирихле |
|
| Автор: | Free Dreamer [ 24 ноя 2012, 00:27 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Может ли непрерывная функция п.в. совпадать с разрывной? |
MihailM А функция Дирихле - это Вы к какому пункту пример привели? Prokop Я посмотрел Натансона, но найти ответ не смог . Мне кажется, что доказательство простое, но пока не получается: я хочу доказать, что непрерывная функция почти всюду с функцией, имеющей неустранимый разрыв, совпадать не может.
|
|
| Автор: | MihailM [ 24 ноя 2012, 17:53 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Может ли непрерывная функция п.в. совпадать с разрывной? |
Free Dreamer писал(а): MihailM А функция Дирихле - это Вы к какому пункту пример привели? ... Это вообще ответ |
|
| Автор: | Free Dreamer [ 24 ноя 2012, 18:49 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Может ли непрерывная функция п.в. совпадать с разрывной? |
Функция Дирихле в каждой точке имеет разрыв, на любом промежутке действительной прямой множество её точек разрыва является несчётным, положительной лебеговой меры... Я пока не понял, как это связано с доказательством( |
|
| Автор: | MihailM [ 24 ноя 2012, 20:52 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Может ли непрерывная функция п.в. совпадать с разрывной? |
Free Dreamer писал(а): Функция Дирихле в каждой точке имеет разрыв, на любом промежутке действительной прямой множество её точек разрыва является несчётным, положительной лебеговой меры... Я пока не понял, как это связано с доказательством( с каким доказательством, я ничего не доказывал) |
|
| Автор: | Prokop [ 24 ноя 2012, 21:11 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Может ли непрерывная функция п.в. совпадать с разрывной? |
Free Dreamer Free Dreamer писал(а): ... я хочу доказать, что непрерывная функция почти всюду с функцией, имеющей неустранимый разрыв, совпадать не может. Тогда надо чётко сформулировать, что такое функция имеющая неустранимый разрыв, если эквивалентными считаются функции, отличающиеся на множестве меры нуль. |
|
| Автор: | Free Dreamer [ 24 ноя 2012, 22:33 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Может ли непрерывная функция п.в. совпадать с разрывной? |
Если конкретно, то мне нужно доказать для случая, когда все неустранимые разрывы функции являются скачками, т.е. для случая неустранимого разрыва первого рода. Но будет ли выполняться утверждение для случая неустранимого разрыва второго рода мне тоже интересно Со вторым родом мне ситуация пока совсем не ясна.Извините, совсем забыл: я предполагаю, что обе функции действуют из [math]\mathbb{R}[/math] в [math]\mathbb{R}[/math]. Для начала, думаю, стоит с самым простым случаем разобраться. |
|
| Автор: | Prokop [ 25 ноя 2012, 16:01 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Может ли непрерывная функция п.в. совпадать с разрывной? |
Один из вариантов ответа может быть таков. Начнём с определения. Будем говорить, что в точке [math]a[/math] у функции [math]f(x)[/math] имеется неустранимый разрыв, если существует число [math]\delta >0[/math] такое, что в любой окрестности точки [math]a[/math] найдутся два множества [math]A[/math] и [math]B[/math] ненулевой меры, для которых выполнено неравенство [math]\mathop {\sup }\limits_{x \in A} f\left( x \right) + \delta \leqslant \mathop {\inf }\limits_{x \in B} f\left( x \right)[/math] После этого, кажется, легко доказываются Ваши утверждения. Проверьте, пожалуйста. |
|
| Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|