Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Может ли непрерывная функция п.в. совпадать с разрывной?
СообщениеДобавлено: 23 ноя 2012, 01:45 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
09 окт 2012, 21:02
Сообщений: 212
Cпасибо сказано: 43
Спасибо получено:
20 раз в 16 сообщениях
Очков репутации: 22

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте.
Возник следующий вопрос: может ли непрерывная функция совпадать почти всюду с разрывной функцией?
1) Если у разрывной конечное или счётное множество устранимых разрывов, то вроде бы всё хорошо: берём график любой непрерывной функции, произвольно переопределяем n точек - получаем, что хотели.
2) Верно ли такое же рассуждение для несчётного множества точек устранимого разрыва? Правильно ли я понимаю, что примером может быть лестница Кантора, в которой на Канторовом множестве значения функции заменили, например, на нули? Или не всё так просто?
3) Интуитивно кажется, что если у функции разрыв неустранимый, то никакая непрерывная ей эквивалентна быть не может. Я жестоко ошибаюсь, или это действительно так? Если так, то подскажите, как доказать?
Заранее большущее-пребольшущее спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Может ли непрерывная функция п.в. совпадать с разрывной?
СообщениеДобавлено: 23 ноя 2012, 19:02 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Советую Вам прочитать книгу И.П. Натансона, Теория функций вещественного переменного.
Там найдёте ответы на многие вопросы.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Может ли непрерывная функция п.в. совпадать с разрывной?
СообщениеДобавлено: 23 ноя 2012, 21:35 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 6803
Cпасибо сказано: 187
Спасибо получено:
1142 раз в 1070 сообщениях
Очков репутации: 65

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
функция Дирихле

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Может ли непрерывная функция п.в. совпадать с разрывной?
СообщениеДобавлено: 24 ноя 2012, 00:27 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
09 окт 2012, 21:02
Сообщений: 212
Cпасибо сказано: 43
Спасибо получено:
20 раз в 16 сообщениях
Очков репутации: 22

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
MihailM
А функция Дирихле - это Вы к какому пункту пример привели?

Prokop
Я посмотрел Натансона, но найти ответ не смог :( . Мне кажется, что доказательство простое, но пока не получается: я хочу доказать, что непрерывная функция почти всюду с функцией, имеющей неустранимый разрыв, совпадать не может.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Может ли непрерывная функция п.в. совпадать с разрывной?
СообщениеДобавлено: 24 ноя 2012, 17:53 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 6803
Cпасибо сказано: 187
Спасибо получено:
1142 раз в 1070 сообщениях
Очков репутации: 65

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Free Dreamer писал(а):
MihailM
А функция Дирихле - это Вы к какому пункту пример привели?
...

Это вообще ответ

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Может ли непрерывная функция п.в. совпадать с разрывной?
СообщениеДобавлено: 24 ноя 2012, 18:49 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
09 окт 2012, 21:02
Сообщений: 212
Cпасибо сказано: 43
Спасибо получено:
20 раз в 16 сообщениях
Очков репутации: 22

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Функция Дирихле в каждой точке имеет разрыв, на любом промежутке действительной прямой множество её точек разрыва является несчётным, положительной лебеговой меры... Я пока не понял, как это связано с доказательством(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Может ли непрерывная функция п.в. совпадать с разрывной?
СообщениеДобавлено: 24 ноя 2012, 20:52 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 6803
Cпасибо сказано: 187
Спасибо получено:
1142 раз в 1070 сообщениях
Очков репутации: 65

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Free Dreamer писал(а):
Функция Дирихле в каждой точке имеет разрыв, на любом промежутке действительной прямой множество её точек разрыва является несчётным, положительной лебеговой меры... Я пока не понял, как это связано с доказательством(

с каким доказательством, я ничего не доказывал)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Может ли непрерывная функция п.в. совпадать с разрывной?
СообщениеДобавлено: 24 ноя 2012, 21:11 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Free Dreamer
Free Dreamer писал(а):
... я хочу доказать, что непрерывная функция почти всюду с функцией, имеющей неустранимый разрыв, совпадать не может.

Тогда надо чётко сформулировать, что такое функция имеющая неустранимый разрыв, если эквивалентными считаются функции, отличающиеся на множестве меры нуль.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Может ли непрерывная функция п.в. совпадать с разрывной?
СообщениеДобавлено: 24 ноя 2012, 22:33 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
09 окт 2012, 21:02
Сообщений: 212
Cпасибо сказано: 43
Спасибо получено:
20 раз в 16 сообщениях
Очков репутации: 22

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если конкретно, то мне нужно доказать для случая, когда все неустранимые разрывы функции являются скачками, т.е. для случая неустранимого разрыва первого рода.
Но будет ли выполняться утверждение для случая неустранимого разрыва второго рода мне тоже интересно :) Со вторым родом мне ситуация пока совсем не ясна.

Извините, совсем забыл: я предполагаю, что обе функции действуют из [math]\mathbb{R}[/math] в [math]\mathbb{R}[/math]. Для начала, думаю, стоит с самым простым случаем разобраться.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Может ли непрерывная функция п.в. совпадать с разрывной?
СообщениеДобавлено: 25 ноя 2012, 16:01 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Один из вариантов ответа может быть таков. Начнём с определения.
Будем говорить, что в точке [math]a[/math] у функции [math]f(x)[/math] имеется неустранимый разрыв, если существует число [math]\delta >0[/math] такое, что в любой окрестности точки [math]a[/math] найдутся два множества [math]A[/math] и [math]B[/math] ненулевой меры, для которых выполнено неравенство
[math]\mathop {\sup }\limits_{x \in A} f\left( x \right) + \delta \leqslant \mathop {\inf }\limits_{x \in B} f\left( x \right)[/math]
После этого, кажется, легко доказываются Ваши утверждения. Проверьте, пожалуйста.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 11 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Непрерывная функция

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Derevyashka

5

484

28 окт 2017, 20:43

Непрерывная и не дифференцируемая функция

в форуме Дифференциальное исчисление

mikeSD

2

1557

03 май 2017, 22:39

Существует ли непрерывная функция

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Zqquiet

1

197

20 дек 2020, 22:15

Непрерывная функция при параметре a

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Bassovsky

12

523

01 окт 2017, 17:02

Функция непрерывная на интервале ограничена

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Rupert Spaira

3

287

19 мар 2022, 01:25

Непрерывная, возрастающая, выпуклая вверх функция ограничена

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

_Sasha_

13

649

26 июн 2018, 18:30

Непрерывная случайная величина (задана интегральная функция

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Maxim30rus

8

625

07 янв 2017, 15:02

Разве функция распределения может...?

в форуме Теория вероятностей

ifseveaoltaland

13

694

16 ноя 2020, 12:49

Может ли функция cosx быть

в форуме Теория вероятностей

Anudari

1

266

04 дек 2018, 21:32

Может ли существовать функция с дифференциальным циклом =3 ?

в форуме Дифференциальное исчисление

dexforint

3

543

05 июл 2017, 04:13


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 6


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved