Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

ВЫчислить предел
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=19680
Страница 1 из 1

Автор:  adwerts [ 22 ноя 2012, 19:29 ]
Заголовок сообщения:  ВЫчислить предел

здравствуйте,пытаюсь сообразить,как можно раскрыть данную неопределенность.

[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \,\,x\left[ {\ln x - \ln (x + 2)} \right] =[/math]

Автор:  Yurik [ 22 ноя 2012, 19:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: ВЫчислить предел

[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } x\left( {\ln x - \ln \left( {x + 2} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \ln {\left( {\frac{x}{{x + 2}}} \right)^x} = \ln \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {{\left( {1 - \frac{2}{{x + 2}}} \right)}^x}} \right) = ...[/math]

Автор:  Alexdemath [ 22 ноя 2012, 19:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: ВЫчислить предел

Вспомните свойства логарифмов и сведите ко второму замечательному пределу

[math]\begin{aligned}\lim\limits_{x\to\infty}x\bigl[\ln x-\ln(x+2)\bigr]&= \lim\limits_{x\to \infty}\ln\left(\frac{x}{x+2}\right)^x= \lim\limits_{x\to \infty}\ln\left(\frac{x+2-2}{x+2}\right)^x= \\ &=\lim\limits_{x\to \infty}\ln\left(1+\frac{-2}{x+2}\right)^x= \lim\limits_{x\to \infty}\ln\left(1+\frac{-2}{x+2}\right)^{\frac{x+2}{-2}\cdot\frac{-2x}{x+2}}=\\ &= \ln\left[\lim\limits_{x\to \infty}\left(1+\frac{-2}{x+2}\right)^{\frac{x+2}{-2}}\right]^{\lim\limits_{x\to \infty}\frac{-2}{1+2 \!\not{\phantom{|}}\,\, x}}}= \ln e^{-2} =-2\end{aligned}[/math]

Автор:  adwerts [ 22 ноя 2012, 20:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: ВЫчислить предел

здорово,второй замечательный предел не заметил)

Автор:  Avgust [ 22 ноя 2012, 20:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: ВЫчислить предел

Через ЭБМ проще:

[math]\lim \limits_{x \to \infty} x \big [\ln(x)-\ln(x+2) \big ]= \lim \limits_{t \to 0} \frac{\ln \bigg (\frac{\frac 1t}{\frac 1t+2} \bigg )}{t}=\lim \limits_{t \to 0}\frac{-\ln(1+2t)}{t}=\lim \limits_{t \to 0}\frac{-2t}{t}=-2[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/