Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Доказать по определению предела функции
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=19654
Страница 1 из 1

Автор:  LLL [ 22 ноя 2012, 05:55 ]
Заголовок сообщения:  Доказать по определению предела функции

Нужна помощь, очень прошу помочь.
Доказать по определению предела функции.
Изображение
Изображение
Изображение

Автор:  Andy [ 22 ноя 2012, 10:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать по определению предела функции

LLL
В учебной литературе приводятся следующие определения.

Окрестностью точки [math]x_0[/math] называется любой интервал с центром в точке [math]x_0.[/math]

Пусть функция [math]f(x)[/math] определена в некоторой окрестности точки [math]x_0,[/math] кроме, может быть, самой точки [math]x_0.[/math] Тогда
а) определение предела функции по Гейне ("на языке последовательностей"): число [math]A[/math] называется пределом функции [math]f(x)[/math] в точке [math]x_0,[/math] если для любой последовательности [math]\{x_n\},[/math] сходящейся к [math]x_0[/math] [math](x_n \ne x_0~ \forall n),[/math] последовательность [math]\{f(x_n)\}[/math] соответствующих значений функции сходится к [math]A;[/math]
б) определение предела функции по Коши ("на языке [math]"\varepsilon-\delta"[/math]"): число [math]A[/math] называется пределом функции [math]f(x)[/math] в точке [math]x_0,[/math] если для любого сколь угодно малого числа [math]\varepsilon>0[/math] найдётся такое число [math]\delta>0[/math] (вообще говоря, зависящее от [math]\varepsilon[/math]), что для всех [math]x,[/math] таких, что [math]|x-x_0|<\delta,~x \ne x_0,[/math] выполняется неравенство [math]|f(x)-A|<\varepsilon.[/math]

Для функции, указанной в первом задании, имеем
[math]f(x)=\frac{x^2-x-1}{2x^2+x+1}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\frac{x+1}{2x^2+x+1}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}.[/math]

Пусть [math]\{x_n\}[/math] - произвольная последовательность, стремящаяся к [math]\infty,[/math] т. е. [math]\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=\infty.[/math]Тогда в соответствии со свойствами пределов последовательностей,
[math]\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=\frac{x_{n}^2-x_n-1}{2x_{n}^2+x_n+1}=\frac{1}{2}-\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{3}{2}\frac{\frac{1}{x_n}+\frac{1}{x_{n}^2}}{2+\frac{1}{x_n}+\frac{1}{x_{n}^2}}=[/math]

[math]=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\frac{0+0}{2+0+0}=\frac{1}{2}[/math]

Здесь мы использовали определение предела функции по Гейне.

В заданиях не оговорено, каким определением предела функции нужно воспользоваться, поэтому можете поступить аналогично рассмотренному.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/