Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать по определению предела функции
СообщениеДобавлено: 22 ноя 2012, 05:55 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
22 ноя 2012, 05:49
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Нужна помощь, очень прошу помочь.
Доказать по определению предела функции.
Изображение
Изображение
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать по определению предела функции
СообщениеДобавлено: 22 ноя 2012, 10:20 
В сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22355
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2110
Спасибо получено:
4978 раз в 4650 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
LLL
В учебной литературе приводятся следующие определения.

Окрестностью точки [math]x_0[/math] называется любой интервал с центром в точке [math]x_0.[/math]

Пусть функция [math]f(x)[/math] определена в некоторой окрестности точки [math]x_0,[/math] кроме, может быть, самой точки [math]x_0.[/math] Тогда
а) определение предела функции по Гейне ("на языке последовательностей"): число [math]A[/math] называется пределом функции [math]f(x)[/math] в точке [math]x_0,[/math] если для любой последовательности [math]\{x_n\},[/math] сходящейся к [math]x_0[/math] [math](x_n \ne x_0~ \forall n),[/math] последовательность [math]\{f(x_n)\}[/math] соответствующих значений функции сходится к [math]A;[/math]
б) определение предела функции по Коши ("на языке [math]"\varepsilon-\delta"[/math]"): число [math]A[/math] называется пределом функции [math]f(x)[/math] в точке [math]x_0,[/math] если для любого сколь угодно малого числа [math]\varepsilon>0[/math] найдётся такое число [math]\delta>0[/math] (вообще говоря, зависящее от [math]\varepsilon[/math]), что для всех [math]x,[/math] таких, что [math]|x-x_0|<\delta,~x \ne x_0,[/math] выполняется неравенство [math]|f(x)-A|<\varepsilon.[/math]

Для функции, указанной в первом задании, имеем
[math]f(x)=\frac{x^2-x-1}{2x^2+x+1}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\frac{x+1}{2x^2+x+1}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}.[/math]

Пусть [math]\{x_n\}[/math] - произвольная последовательность, стремящаяся к [math]\infty,[/math] т. е. [math]\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=\infty.[/math]Тогда в соответствии со свойствами пределов последовательностей,
[math]\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=\frac{x_{n}^2-x_n-1}{2x_{n}^2+x_n+1}=\frac{1}{2}-\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{3}{2}\frac{\frac{1}{x_n}+\frac{1}{x_{n}^2}}{2+\frac{1}{x_n}+\frac{1}{x_{n}^2}}=[/math]

[math]=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\frac{0+0}{2+0+0}=\frac{1}{2}[/math]

Здесь мы использовали определение предела функции по Гейне.

В заданиях не оговорено, каким определением предела функции нужно воспользоваться, поэтому можете поступить аналогично рассмотренному.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Andy "Спасибо" сказали:
LLL
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать по определению предела

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

elektron4ik

3

797

11 апр 2017, 14:56

Доказать по определению предела последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

POLINA1563656656652

12

666

11 дек 2020, 23:34

Доказать по определению предела последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

blablaone

0

365

19 дек 2021, 23:42

Доказать по определению предела последовательности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Gans_Shmulke

1

806

05 сен 2017, 22:05

Доказательство предела функции по определению

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

suxofructik

0

194

22 ноя 2021, 18:54

Доказательство предела функции по определению

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

suxofructik

0

147

20 дек 2021, 17:59

Вопрос по определению предела функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

kopyl_larisa

6

528

01 фев 2016, 20:56

Доказать равенство предела функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

md_house

1

184

15 янв 2018, 05:23

Доказательство предела по определению

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

vestaesenina

1

363

18 сен 2018, 23:20

Доказательство предела по определению

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Dmitrii_hs_ch

1

150

09 окт 2023, 11:37


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved