Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Пределы и сходимость
СообщениеДобавлено: 21 ноя 2012, 17:48 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
21 ноя 2012, 17:30
Сообщений: 19
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Решите пожалуйста! :oops: :oops: :oops: никак не могу разобраться в данной теме! Через пару дней сдавать ,хотелось бы полностью разобраться в этом.Покажите как решать и тому подобное и я сразу пойму! Заранее спасибо!! :cry: :cry:
Задание прикрепила!

Вложения:
Комментарий к файлу: Собственно задание
.jpg
.jpg [ 96.92 Кб | Просмотров: 71 ]
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Пределы и сходимость
СообщениеДобавлено: 21 ноя 2012, 20:30 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 22:28
Сообщений: 4433
Cпасибо сказано: 565
Спасибо получено:
1075 раз в 952 сообщениях
Очков репутации: 315

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1) [math]\lim_{n \to \infty}{\frac{2n-1}{n+0,5}}=2[/math]

[math]\lim_{n \to \infty}{x_n}=a \ \Leftrightarrow \ \forall \varepsilon>0 \ \exists k \in \mathbb{N} \ \forall n>k \ |x_n-a|< \varepsilon[/math]

Зафиксируем произвольное [math]\varepsilon>0[/math] и рассмотрим неравенство [math]|x_n-a|< \varepsilon[/math]: [math]\left| \frac{2n-1}{n+0,5}-2 \right|< \varepsilon[/math] [math]\Leftrightarrow \ \frac{2}{n+0,5}< \varepsilon[/math] [math]\Leftrightarrow \ n>\frac{2}{\varepsilon}-0,5[/math]. Пусть [math]k=\left[ \frac{2}{\varepsilon} \right]+1[/math], где [math][x][/math] - целая часть числа [math]x[/math] (например, [math][2,3]=2, \ [-1,8]=-1[/math]. Тогда [math]\forall \varepsilon>0 \ \exists k=\left[ \frac{2}{\varepsilon}\right]+1 \ \forall n>k \ \left[ \frac{2}{\varepsilon}\right]+1+\alpha>\frac{2}{\varepsilon}-0,5[/math], где [math]\alpha>0[/math]. Докажем, что неравенство [math]\left[ \frac{2}{\varepsilon} \right]+1+\alpha>\frac{2}{\varepsilon}-0,5[/math] выполняется для любых положительных значений [math]\varepsilon[/math].
а) Пусть [math]\varepsilon=2[/math], тогда [math]\left[ \frac{2}{2} \right]+1+\alpha>\frac{2}{2}-0,5 \ \Leftrightarrow \ 1,5+\alpha>0[/math]. Это всегда выполняется, т.к. [math]\alpha>0[/math].
б) Пусть [math]\varepsilon<2[/math], тогда [math]\frac{2}{\varepsilon}>1[/math], [math]0<\frac{2}{\varepsilon}-[/math][math]\left[\frac{2}{\varepsilon}\right]<1[/math] и [math]1,5+\alpha>\frac{2}{\varepsilon}-\left[ \frac{2}{\varepsilon} \right][/math] всегда выполняется, т.к. [math]\alpha>0[/math].
в) Пусть [math]\varepsilon>2[/math], тогда [math]\frac{2}{\varepsilon}<1[/math], [math]\left[\frac{2}{\varepsilon}\right]=0[/math] и [math]1,5+\alpha>\frac{2}{\varepsilon}[/math]. Это всегда выполняется, т.к. [math]\alpha>0[/math].
Таким образом, для произвольного положительного числа [math]\varepsilon[/math] указан такой номер [math]k=\left[ \frac{2}{\varepsilon} \right]+1[/math], что [math]\forall n>k[/math] выполняется неравенство [math]\left| \frac{2n-1}{n+0,5}-2 \right|< \varepsilon[/math], а по определению предела числовой последовательности это и означает, что [math]\lim_{n \to \infty}{\frac{2n-1}{n+0,5}}=2[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Ellipsoid "Спасибо" сказали:
Alexdemath, mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Пределы и сходимость
СообщениеДобавлено: 21 ноя 2012, 20:41 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13561
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1291
Спасибо получено:
3622 раз в 3180 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
5. б)
[math]\lim \limits_{n \to \infty}\frac{(n+2)^3+(n-2)^3}{n^3-2n^2-1}=\lim \limits_{n \to \infty}\frac{2n^3+24n}{n^3-2n^2-1}=\lim \limits_{n \to \infty}\frac{2+\frac{24}{n^2}}{1-\frac 2n-\frac{1}{n^3}}=2[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Пределы и сходимость
СообщениеДобавлено: 21 ноя 2012, 21:38 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
2. в)

[math]x_{n+1}=\sqrt{3+x_n},\ x_1=\sqrt3[/math]

Покажем по индукции, что [math]0<x_n<\frac{1+\sqrt{13}}2[/math]. При [math]n=1[/math]:

[math]\sqrt3<\frac{1+\sqrt{13}}2\Leftrightarrow12<14+2\sqrt{13}\Leftrightarrow1<\sqrt{13}[/math] - выполняется.

Пусть при [math]n=k[/math] неравенство выполнено. Докажем, что при [math]n=k+1[/math] оно также выполнено.

[math]x_{k+1}=\sqrt{3+x_k}<\sqrt{3+\frac{1+\sqrt{13}}2}=\sqrt{\left(\frac{1+\sqrt{13}}2\right)^2}=\frac{1+\sqrt{13}}2;\ x_{k+1}=\sqrt{3+x_k}>\sqrt3>0[/math]

Неравенство доказано. Тогда с учётом этого неравенства получаем

[math]x_{n+1}-x_n=\sqrt{3+x_n}-x_n=\frac{3+x_n-x_n^2}{\sqrt{3+x_n}+x_n}=-\frac{\left(x_n-\frac{1+\sqrt{13}}2\right)\left(x_n+\frac{\sqrt{13}-1}2\right)}{\sqrt{3+x_n}+x_n}>0[/math]

откуда [math]x_{n+1}>x_n[/math].

Итак, мы показали, что последовательность [math]x_n[/math] возрастает и ограничена сверху, значит по теореме Вейерштрасса об ограниченной монотонной последовательности [math]x_n[/math] сходится к некоторому числу [math]c[/math]. Тогда и последовательность [math]x_{n+1}[/math] также сходится к этому числу. Переходя в равенстве [math]x_{n+1}^2=3+x_n[/math] к пределу при [math]n\to\infty[/math], получим

[math]c^2=3+c[/math]

откуда [math]c=\frac{1\pm\sqrt{13}}2[/math]. Но число [math]\frac{1-\sqrt{13}}2[/math] не может быть пределом последовательности [math]x_n[/math], поскольку оно отрицательно, а все члены [math]x_n[/math] положительны, поэтому существует окрестность точки [math]\frac{1-\sqrt{13}}2[/math] такая, что в ней не лежит ни один член последовательности.

Значит [math]\lim_{n\to\infty}x_n=\frac{1+\sqrt{13}}2[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
Alexdemath, mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Пределы и сходимость
СообщениеДобавлено: 21 ноя 2012, 21:58 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13561
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1291
Спасибо получено:
3622 раз в 3180 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
5. a)

[math]\lim \limits_{n \to \infty}\bigg ( \sqrt{(n^2+1)(n^2-4)}-\sqrt{n^4-9)}\bigg )=\lim \limits_{n \to \infty}\bigg ( \sqrt{n^4-3n^2-4}-\sqrt{n^4-9}\bigg )=[/math]

[math]=\lim \limits_{t \to 0}\bigg ( \sqrt{\frac{1}{t^4}-\frac{3}{t^2}-4}-\sqrt{\frac{1}{t^4}-9)}\bigg )=[/math]

[math]=\lim \limits_{t \to 0}\frac{\sqrt{(-3t^2-4t^4)+1}-1 -\bigg (\sqrt{-9t^4+1}-1 \bigg )}{t^2}= \, \bigg |[/math] применяем ЭБМ [math]\bigg | =[/math]

[math]=\lim \limits_{t \to 0}\bigg ( -\frac 32 -2t^2+\frac 92 t^2 \bigg )=-\frac 32[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Пределы и сходимость
СообщениеДобавлено: 23 ноя 2012, 14:40 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
21 ноя 2012, 17:30
Сообщений: 19
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ОГРОМНОЕ СПАСИБО ,РЕБЯТ!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость

в форуме Ряды

belke

1

195

01 ноя 2021, 09:16

Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость

в форуме Ряды

belke

1

207

01 ноя 2021, 09:13

Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость

в форуме Ряды

belke

1

185

01 ноя 2021, 09:12

Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость

в форуме Ряды

belke

1

179

01 ноя 2021, 09:11

Исследовать на сходимость и равномерную сходимость послед

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

STARKENNY

1

749

27 дек 2015, 11:45

Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость

в форуме Ряды

belke

2

220

01 ноя 2021, 09:16

Исследовать на сходимость и равномерную сходимость ряд

в форуме Объявления участников Форума

neotouch

5

448

08 дек 2022, 15:35

Исследовать на сходимость и равномерную сходимость

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

ArinaGross

0

240

21 дек 2018, 12:19

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость

в форуме Ряды

stanleykubrick

2

208

07 фев 2020, 00:35

Пределы

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

xumuk

5

275

09 дек 2014, 10:02


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved