Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти пределы не пользуясь правилом Лопиталя
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=19549
Страница 1 из 1

Автор:  Strafer [ 18 ноя 2012, 19:16 ]
Заголовок сообщения:  Найти пределы не пользуясь правилом Лопиталя

Найти пределы не пользуясь правилом Лопиталя.
Проверьте, правильно ли я решил первый предел и помогите пожалуйста с решением второго. Ответ и там и там должен быть: 1.
Изображение
Изображение

Автор:  erjoma [ 18 ноя 2012, 19:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти пределы не пользуясь правилом Лопиталя

В первом верно.

[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + 2x} \right)^{\frac{3}{x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {e^{3\frac{{\ln \left( {1 + 2x} \right)}}{x}}} = {e^{3\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\ln \left( {1 + 2x} \right)}}{x}}}[/math]

Автор:  Strafer [ 18 ноя 2012, 20:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти пределы не пользуясь правилом Лопиталя

Посмотрел как вы расписали, вроде во всех действиях разобрался. Можете написать как дальше преобразовать до конечного результата?

Автор:  erjoma [ 18 ноя 2012, 22:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти пределы не пользуясь правилом Лопиталя

Подсказка находится в книге Г.М.Фихтенгольц "Курс дифференциального и интегрального исчисления" том 1, стр 67

Автор:  Strafer [ 19 ноя 2012, 09:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти пределы не пользуясь правилом Лопиталя

Вот что получилось. Использовал найденную на указанной вами странице формулу (выделил внизу в рамку).
Если я не туда полез или туда, но не так решил, поправьте пожалуйста.
Изображение

Автор:  erjoma [ 19 ноя 2012, 11:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти пределы не пользуясь правилом Лопиталя

Верно.
Вопрос возникает правда по четвертой строчке: почему в знаметателе выражения под знаком предела стоит 1?

P.S.
Примененный способ не сработал бы, если под знаком логарифма стоял бы многочлен степени больше или равной 2.

Вчера я просмотрел более короткий путь.
Т.к.
[math]\forall x > 1 \,\colon[/math]
[math]1 < 2x + 1 < 2x + x = 3x[/math]
[math]1 < {\left( {2x + 1} \right)^{\frac{3}{x}}} < {\left( {3x} \right)^{\frac{3}{x}}}[/math]
и [math]\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {3x} \right)^{\frac{3}{x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {3^{\frac{3}{x}}} \cdot {\left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {x^{\frac{1}{x}}}} \right)^3} = 1[/math],
то по теореме о двух милиционерах [math]\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {2x + 1} \right)^{\frac{3}{x}}} = 1[/math]

Автор:  Strafer [ 19 ноя 2012, 16:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти пределы не пользуясь правилом Лопиталя

Насчет единицы, я просто не то видимо сфотографировал. Было тоже самое решение, но без единицы. Спасибо.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/