Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Определить нули функции и ее точки разрыва (пробелы)
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=19546
Страница 1 из 1

Автор:  murtukov [ 18 ноя 2012, 18:23 ]
Заголовок сообщения:  Определить нули функции и ее точки разрыва (пробелы)

Необходимо найти нули функции и ее точки разрыва (также называемые пробелами, сигнулярностью или особенностью функции):

[math]y = \frac{{{x^4} + 4{x^3} + 2{x^2} - 4x - 3}}{{x(x - 2)(x + 3)}}[/math]

Спасибо всем за любое объяснение, помощь, подсказку.

Автор:  Analitik [ 18 ноя 2012, 18:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определить нули функции и ее точки разрыва (пробелы)

murtukov
Нулями функции, иначе говоря точками пересечения графика функции с осью абсциис, будут все корни уравнения [math]x^4+4x^3+2x^2-4x-3=0[/math], а точками разрыва все корни уравнения [math]x(x-2)(x+3)=0[/math]

Автор:  murtukov [ 18 ноя 2012, 18:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определить нули функции и ее точки разрыва (пробелы)

Analitik

Спасибо. А как вы узнали, какое из уравнений дает точки разрыва, а какое - нули функции? Есть какое-то правило или ...?

Автор:  Analitik [ 18 ноя 2012, 19:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определить нули функции и ее точки разрыва (пробелы)

Все очень просто.
У Вас задана рациональная функция.
Нулями функции называются такие значения [math]x[/math] при которых функция равна нулю, т.е. [math]y(x)=0[/math]. Это возможно только в том случае, когда числитель дроби равен нулю.

Что касается точек разрыва, так как и числитель и знаменатель дроби непрерывные функции, то возможен только один вариант. Те значения [math]x[/math], при которых знаменатель обращается в ноль и являются точками разрыва.

Автор:  murtukov [ 18 ноя 2012, 19:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определить нули функции и ее точки разрыва (пробелы)

Analitik

Ага, понятно.
Возникли вопросы на счет решения этих самых уравнений. Вот к примеру первое (из числителя):
[math]{{x^4} + 4{x^3} + 2{x^2} - 4x - 3}[/math]

Компьютер решает его следующим методом, с пошаговым объяснением действий:

1. [math]{{x^4} + 4{x^3} + 2{x^2} - 4x - 3}[/math]

2. [math](x - 1){(x + 1)^2}(x + 3)[/math]

3. [math]\left\{ \begin{gathered} x - 1 = 0 \hfill \\ {(x + 1)^2} = 0 \hfill \\ x + 3 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right\}[/math]

4. [math]\left\{ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ x + 1 = 0 \hfill \\ x = - 3 \hfill \\ \end{gathered} \right\}[/math]

Ответ: [math]{x_1} = 1,\,\,{x_2} = - 1,\,\,{x_3} = - 3[/math]

Видно, что на втором шаге компьютер представил уравнение в другом виде. Далее он разделил уравнение на три части и получил три корня уравнения. Второй шаг мне пока неясен, я не могу понять, какие образом из начального уравнения можно получить [math](x - 1){(x + 1)^2}(x + 3)[/math]. Могли бы вы мне это пожалуйста объяснить?

Автор:  Analitik [ 18 ноя 2012, 19:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определить нули функции и ее точки разрыва (пробелы)

[math]x^4+4x^3+2x^2-4x-3=0[/math]
Группируем
[math](x^4+2x^2-3)+(4x^3-4x)=0[/math]
[math](x^4+2x^2-3)+4x(x^2-1)=0[/math]
Здесь я хочу проверить, а не является ли [math]x=1[/math] корнем уравнения [math](x^4+2x^2-3)=0[/math]. Является. Значит можно разложить эту скобку на множители.
Получим
[math](x^2-1)(x^2+3)+4x(x^2-1)=0[/math]
Выносим за скобки [math]x^2-1[/math]
[math](x^2+3+4x)(x^2-1)=0[/math]
Теперь нужно решить два квадратных уравнения.

Автор:  murtukov [ 19 ноя 2012, 04:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определить нули функции и ее точки разрыва (пробелы)

Analitik

А по какому принципу вы группировали? И какие два уравнения надо решить?

Автор:  Analitik [ 19 ноя 2012, 06:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определить нули функции и ее точки разрыва (пробелы)

murtukov
Скажите, а зачем Вам это надо?

Автор:  murtukov [ 19 ноя 2012, 11:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определить нули функции и ее точки разрыва (пробелы)

Я учусь на факультете прикладной информатики. Это одно из наших домашних заданий. Я хочу научиться решать подобные. Вот.

Автор:  mad_math [ 19 ноя 2012, 17:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определить нули функции и ее точки разрыва (пробелы)

murtukov писал(а):
И какие два уравнения надо решить?
Те, что в скобках в последнем выражении.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/