| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Пользуясь определением предела функции, доказать http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=19541 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Svet_M [ 18 ноя 2012, 17:07 ] |
| Заголовок сообщения: | Пользуясь определением предела функции, доказать |
| Автор: | Avgust [ 18 ноя 2012, 19:10 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Пользуясь определением предела функции, доказать |
[math]=\lim \limits_{t\to 0}\frac{(t-1)^2-(t-1)-2}{(t-1)^3+1}=\lim \limits_{t\to 0} \, \frac{t-3}{t^2-3t+3}=-1[/math] |
|
| Автор: | valentina [ 18 ноя 2012, 19:24 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Пользуясь определением предела функции, доказать |
viewtopic.php?f=53&t=1434 viewtopic.php?f=53&t=3707 viewtopic.php?f=53&t=10621 viewtopic.php?f=53&t=18662 |
|
| Автор: | Human [ 19 ноя 2012, 18:31 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Пользуясь определением предела функции, доказать |
Из неравенства [math]|x+1|<\delta[/math] следует, что [math]x-1<\delta-2[/math]. Пусть [math]\delta<2[/math]. Тогда [math]1-x>2-\delta>0[/math], и значит [math]0<\frac1{1-x}<\frac1{2-\delta}[/math]. Тогда [math]\left|\frac{x+1}{x-1}\right|=\frac{|x+1|}{1-x}<\frac{\delta}{2-\delta}=\varepsilon[/math] откуда [math]\delta=\frac{2\varepsilon}{1+\varepsilon}[/math]. Видно также, что полученное [math]\delta[/math] меньше 2, значит приведённые выше выкладки справедливы. |
|
| Автор: | Human [ 19 ноя 2012, 18:37 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Пользуясь определением предела функции, доказать |
Так, стоп, я у Вас увидел ошибку: [math]x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)[/math] |
|
| Автор: | Svet_M [ 19 ноя 2012, 19:23 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Пользуясь определением предела функции, доказать |
Human писал(а): Так, стоп, я у Вас увидел ошибку: [math]x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)[/math] И что тогда получится? Я совсем запуталась ((( |
|
| Автор: | Human [ 20 ноя 2012, 16:07 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Пользуясь определением предела функции, доказать |
Тогда [math]\left|\frac{x^2-x-2}{x^3+1}+1\right|=\left|\frac{(x-1)(x+1)}{x^2-x+1}\right|[/math] Поскольку [math]|x+1|<\delta[/math], а [math]x^2-x+1=\left(x-\frac12\right)^2+\frac34\geqslant\frac34[/math], то [math]\left|\frac{(x-1)(x+1)}{x^2-x+1}\right|<\frac{4\delta|x-1|}3[/math] Из неравенства [math]|x+1|<\delta[/math] следует, что [math]-\delta-2<x-1<\delta-2[/math]. Пусть [math]\delta<2[/math]. Тогда [math]0<1-x<\delta+2<4[/math], откуда [math]\frac{4\delta|x-1|}3<\frac{16}3\delta=\varepsilon[/math] Значит [math]\delta=\frac3{16}\varepsilon[/math]. Полученное значение [math]\delta[/math] справедливо только при [math]\delta<2[/math], то есть при [math]\varepsilon<\frac{32}3[/math]. При [math]\varepsilon\geqslant\frac{32}3[/math] примем [math]\delta=1[/math]. Тогда [math]\frac{16}3\delta=\frac{16}3<\frac{32}3\leqslant\varepsilon[/math] Окончательно [math]\delta(\varepsilon)=\left\{\begin{aligned}\frac3{16}\varepsilon,&\ \varepsilon<\frac{32}3\\1\ \ ,&\ \varepsilon\geqslant\frac{32}3\end{aligned}\right.[/math] |
|
| Автор: | Svet_M [ 20 ноя 2012, 17:50 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Пользуясь определением предела функции, доказать |
Human, огромное спасибо! |
|
| Автор: | Human [ 20 ноя 2012, 18:30 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Пользуясь определением предела функции, доказать |
Ещё вариант: На самом деле условие [math]\delta<2[/math] было избыточным, ведь при любом [math]\delta>0[/math] выполняется неравенство [math]\delta+2>|\delta-2|[/math], а значит при любом [math]\delta>0[/math] выполнено [math]|x-1|<\delta+2[/math]. Тогда [math]\left|\frac{x^2-x-2}{x^3+1}+1\right|<\frac{4\delta(\delta+2)}3=\varepsilon[/math] откуда [math]\delta=\sqrt{\frac34\varepsilon+1}-1[/math] То, что написано постом выше, тоже верно (поскольку [math]\delta[/math] можно выбирать далеко не единственным способом), но зато в данном случае хоть получено единое выражение при всех [math]\varepsilon>0[/math]. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|