Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Пользуясь определением предела функции, доказать
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=19541
Страница 1 из 1

Автор:  Svet_M [ 18 ноя 2012, 17:07 ]
Заголовок сообщения:  Пользуясь определением предела функции, доказать

Изображение

Автор:  Avgust [ 18 ноя 2012, 19:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пользуясь определением предела функции, доказать

[math]=\lim \limits_{t\to 0}\frac{(t-1)^2-(t-1)-2}{(t-1)^3+1}=\lim \limits_{t\to 0} \, \frac{t-3}{t^2-3t+3}=-1[/math]

Автор:  valentina [ 18 ноя 2012, 19:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пользуясь определением предела функции, доказать

viewtopic.php?f=53&t=1434

viewtopic.php?f=53&t=3707

viewtopic.php?f=53&t=10621

viewtopic.php?f=53&t=18662

Автор:  Svet_M [ 19 ноя 2012, 18:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пользуясь определением предела функции, доказать

Уважаемые форумчане, помогите разобраться.
Пользуясь определением предела функции, доказать, что
Изображение
Как закончить доказательство? Заранее благодарю.
Изображение

Автор:  Human [ 19 ноя 2012, 18:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пользуясь определением предела функции, доказать

Из неравенства [math]|x+1|<\delta[/math] следует, что [math]x-1<\delta-2[/math]. Пусть [math]\delta<2[/math]. Тогда [math]1-x>2-\delta>0[/math], и значит [math]0<\frac1{1-x}<\frac1{2-\delta}[/math]. Тогда

[math]\left|\frac{x+1}{x-1}\right|=\frac{|x+1|}{1-x}<\frac{\delta}{2-\delta}=\varepsilon[/math]

откуда [math]\delta=\frac{2\varepsilon}{1+\varepsilon}[/math]. Видно также, что полученное [math]\delta[/math] меньше 2, значит приведённые выше выкладки справедливы.

Автор:  Human [ 19 ноя 2012, 18:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пользуясь определением предела функции, доказать

Так, стоп, я у Вас увидел ошибку:

[math]x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)[/math]

Автор:  Svet_M [ 19 ноя 2012, 19:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пользуясь определением предела функции, доказать

Human писал(а):
Так, стоп, я у Вас увидел ошибку:

[math]x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)[/math]

И что тогда получится? Я совсем запуталась (((

Автор:  Human [ 20 ноя 2012, 16:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пользуясь определением предела функции, доказать

Тогда

[math]\left|\frac{x^2-x-2}{x^3+1}+1\right|=\left|\frac{(x-1)(x+1)}{x^2-x+1}\right|[/math]

Поскольку [math]|x+1|<\delta[/math], а [math]x^2-x+1=\left(x-\frac12\right)^2+\frac34\geqslant\frac34[/math], то

[math]\left|\frac{(x-1)(x+1)}{x^2-x+1}\right|<\frac{4\delta|x-1|}3[/math]

Из неравенства [math]|x+1|<\delta[/math] следует, что [math]-\delta-2<x-1<\delta-2[/math]. Пусть [math]\delta<2[/math]. Тогда [math]0<1-x<\delta+2<4[/math], откуда

[math]\frac{4\delta|x-1|}3<\frac{16}3\delta=\varepsilon[/math]

Значит [math]\delta=\frac3{16}\varepsilon[/math]. Полученное значение [math]\delta[/math] справедливо только при [math]\delta<2[/math], то есть при [math]\varepsilon<\frac{32}3[/math]. При [math]\varepsilon\geqslant\frac{32}3[/math] примем [math]\delta=1[/math]. Тогда

[math]\frac{16}3\delta=\frac{16}3<\frac{32}3\leqslant\varepsilon[/math]

Окончательно

[math]\delta(\varepsilon)=\left\{\begin{aligned}\frac3{16}\varepsilon,&\ \varepsilon<\frac{32}3\\1\ \ ,&\ \varepsilon\geqslant\frac{32}3\end{aligned}\right.[/math]

Автор:  Svet_M [ 20 ноя 2012, 17:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пользуясь определением предела функции, доказать

Human, огромное спасибо!

Автор:  Human [ 20 ноя 2012, 18:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Пользуясь определением предела функции, доказать

Ещё вариант:

На самом деле условие [math]\delta<2[/math] было избыточным, ведь при любом [math]\delta>0[/math] выполняется неравенство [math]\delta+2>|\delta-2|[/math], а значит при любом [math]\delta>0[/math] выполнено [math]|x-1|<\delta+2[/math]. Тогда

[math]\left|\frac{x^2-x-2}{x^3+1}+1\right|<\frac{4\delta(\delta+2)}3=\varepsilon[/math]

откуда [math]\delta=\sqrt{\frac34\varepsilon+1}-1[/math]

То, что написано постом выше, тоже верно (поскольку [math]\delta[/math] можно выбирать далеко не единственным способом), но зато в данном случае хоть получено единое выражение при всех [math]\varepsilon>0[/math].

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/