Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 10 ] |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| Svet_M |
|
|
| Вернуться к началу | ||
| Avgust |
|
|
|
[math]=\lim \limits_{t\to 0}\frac{(t-1)^2-(t-1)-2}{(t-1)^3+1}=\lim \limits_{t\to 0} \, \frac{t-3}{t^2-3t+3}=-1[/math]
|
||
| Вернуться к началу | ||
| valentina |
|
|
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю valentina "Спасибо" сказали: Svet_M |
||
| Svet_M |
|
|
| Вернуться к началу | ||
| Human |
|
|
|
Из неравенства [math]|x+1|<\delta[/math] следует, что [math]x-1<\delta-2[/math]. Пусть [math]\delta<2[/math]. Тогда [math]1-x>2-\delta>0[/math], и значит [math]0<\frac1{1-x}<\frac1{2-\delta}[/math]. Тогда
[math]\left|\frac{x+1}{x-1}\right|=\frac{|x+1|}{1-x}<\frac{\delta}{2-\delta}=\varepsilon[/math] откуда [math]\delta=\frac{2\varepsilon}{1+\varepsilon}[/math]. Видно также, что полученное [math]\delta[/math] меньше 2, значит приведённые выше выкладки справедливы. |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: Svet_M |
||
| Human |
|
|
|
Так, стоп, я у Вас увидел ошибку:
[math]x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: Svet_M |
||
| Svet_M |
|
|
|
Human писал(а): Так, стоп, я у Вас увидел ошибку: [math]x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)[/math] И что тогда получится? Я совсем запуталась ((( |
||
| Вернуться к началу | ||
| Human |
|
|
|
Тогда
[math]\left|\frac{x^2-x-2}{x^3+1}+1\right|=\left|\frac{(x-1)(x+1)}{x^2-x+1}\right|[/math] Поскольку [math]|x+1|<\delta[/math], а [math]x^2-x+1=\left(x-\frac12\right)^2+\frac34\geqslant\frac34[/math], то [math]\left|\frac{(x-1)(x+1)}{x^2-x+1}\right|<\frac{4\delta|x-1|}3[/math] Из неравенства [math]|x+1|<\delta[/math] следует, что [math]-\delta-2<x-1<\delta-2[/math]. Пусть [math]\delta<2[/math]. Тогда [math]0<1-x<\delta+2<4[/math], откуда [math]\frac{4\delta|x-1|}3<\frac{16}3\delta=\varepsilon[/math] Значит [math]\delta=\frac3{16}\varepsilon[/math]. Полученное значение [math]\delta[/math] справедливо только при [math]\delta<2[/math], то есть при [math]\varepsilon<\frac{32}3[/math]. При [math]\varepsilon\geqslant\frac{32}3[/math] примем [math]\delta=1[/math]. Тогда [math]\frac{16}3\delta=\frac{16}3<\frac{32}3\leqslant\varepsilon[/math] Окончательно [math]\delta(\varepsilon)=\left\{\begin{aligned}\frac3{16}\varepsilon,&\ \varepsilon<\frac{32}3\\1\ \ ,&\ \varepsilon\geqslant\frac{32}3\end{aligned}\right.[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: Analitik, Svet_M, valentina |
||
| Svet_M |
|
|
|
Human, огромное спасибо!
|
||
| Вернуться к началу | ||
| Human |
|
|
|
Ещё вариант:
На самом деле условие [math]\delta<2[/math] было избыточным, ведь при любом [math]\delta>0[/math] выполняется неравенство [math]\delta+2>|\delta-2|[/math], а значит при любом [math]\delta>0[/math] выполнено [math]|x-1|<\delta+2[/math]. Тогда [math]\left|\frac{x^2-x-2}{x^3+1}+1\right|<\frac{4\delta(\delta+2)}3=\varepsilon[/math] откуда [math]\delta=\sqrt{\frac34\varepsilon+1}-1[/math] То, что написано постом выше, тоже верно (поскольку [math]\delta[/math] можно выбирать далеко не единственным способом), но зато в данном случае хоть получено единое выражение при всех [math]\varepsilon>0[/math]. |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: Svet_M |
||
|
[ Сообщений: 10 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |