Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Пользуясь определением предела функции, доказать
СообщениеДобавлено: 18 ноя 2012, 17:07 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 ноя 2012, 16:58
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Пользуясь определением предела функции, доказать
СообщениеДобавлено: 18 ноя 2012, 19:10 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13561
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1291
Спасибо получено:
3622 раз в 3180 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]=\lim \limits_{t\to 0}\frac{(t-1)^2-(t-1)-2}{(t-1)^3+1}=\lim \limits_{t\to 0} \, \frac{t-3}{t^2-3t+3}=-1[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Пользуясь определением предела функции, доказать
СообщениеДобавлено: 18 ноя 2012, 19:24 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 авг 2010, 15:54
Сообщений: 4482
Cпасибо сказано: 2406
Спасибо получено:
1660 раз в 1251 сообщениях
Очков репутации: 374

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю valentina "Спасибо" сказали:
Svet_M
 Заголовок сообщения: Re: Пользуясь определением предела функции, доказать
СообщениеДобавлено: 19 ноя 2012, 18:15 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 ноя 2012, 16:58
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Уважаемые форумчане, помогите разобраться.
Пользуясь определением предела функции, доказать, что
Изображение
Как закончить доказательство? Заранее благодарю.
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Пользуясь определением предела функции, доказать
СообщениеДобавлено: 19 ноя 2012, 18:31 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Из неравенства [math]|x+1|<\delta[/math] следует, что [math]x-1<\delta-2[/math]. Пусть [math]\delta<2[/math]. Тогда [math]1-x>2-\delta>0[/math], и значит [math]0<\frac1{1-x}<\frac1{2-\delta}[/math]. Тогда

[math]\left|\frac{x+1}{x-1}\right|=\frac{|x+1|}{1-x}<\frac{\delta}{2-\delta}=\varepsilon[/math]

откуда [math]\delta=\frac{2\varepsilon}{1+\varepsilon}[/math]. Видно также, что полученное [math]\delta[/math] меньше 2, значит приведённые выше выкладки справедливы.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
Svet_M
 Заголовок сообщения: Re: Пользуясь определением предела функции, доказать
СообщениеДобавлено: 19 ноя 2012, 18:37 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Так, стоп, я у Вас увидел ошибку:

[math]x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
Svet_M
 Заголовок сообщения: Re: Пользуясь определением предела функции, доказать
СообщениеДобавлено: 19 ноя 2012, 19:23 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 ноя 2012, 16:58
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human писал(а):
Так, стоп, я у Вас увидел ошибку:

[math]x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)[/math]

И что тогда получится? Я совсем запуталась (((

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Пользуясь определением предела функции, доказать
СообщениеДобавлено: 20 ноя 2012, 16:07 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Тогда

[math]\left|\frac{x^2-x-2}{x^3+1}+1\right|=\left|\frac{(x-1)(x+1)}{x^2-x+1}\right|[/math]

Поскольку [math]|x+1|<\delta[/math], а [math]x^2-x+1=\left(x-\frac12\right)^2+\frac34\geqslant\frac34[/math], то

[math]\left|\frac{(x-1)(x+1)}{x^2-x+1}\right|<\frac{4\delta|x-1|}3[/math]

Из неравенства [math]|x+1|<\delta[/math] следует, что [math]-\delta-2<x-1<\delta-2[/math]. Пусть [math]\delta<2[/math]. Тогда [math]0<1-x<\delta+2<4[/math], откуда

[math]\frac{4\delta|x-1|}3<\frac{16}3\delta=\varepsilon[/math]

Значит [math]\delta=\frac3{16}\varepsilon[/math]. Полученное значение [math]\delta[/math] справедливо только при [math]\delta<2[/math], то есть при [math]\varepsilon<\frac{32}3[/math]. При [math]\varepsilon\geqslant\frac{32}3[/math] примем [math]\delta=1[/math]. Тогда

[math]\frac{16}3\delta=\frac{16}3<\frac{32}3\leqslant\varepsilon[/math]

Окончательно

[math]\delta(\varepsilon)=\left\{\begin{aligned}\frac3{16}\varepsilon,&\ \varepsilon<\frac{32}3\\1\ \ ,&\ \varepsilon\geqslant\frac{32}3\end{aligned}\right.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
Analitik, Svet_M, valentina
 Заголовок сообщения: Re: Пользуясь определением предела функции, доказать
СообщениеДобавлено: 20 ноя 2012, 17:50 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 ноя 2012, 16:58
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human, огромное спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Пользуясь определением предела функции, доказать
СообщениеДобавлено: 20 ноя 2012, 18:30 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ещё вариант:

На самом деле условие [math]\delta<2[/math] было избыточным, ведь при любом [math]\delta>0[/math] выполняется неравенство [math]\delta+2>|\delta-2|[/math], а значит при любом [math]\delta>0[/math] выполнено [math]|x-1|<\delta+2[/math]. Тогда

[math]\left|\frac{x^2-x-2}{x^3+1}+1\right|<\frac{4\delta(\delta+2)}3=\varepsilon[/math]

откуда [math]\delta=\sqrt{\frac34\varepsilon+1}-1[/math]

То, что написано постом выше, тоже верно (поскольку [math]\delta[/math] можно выбирать далеко не единственным способом), но зато в данном случае хоть получено единое выражение при всех [math]\varepsilon>0[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
Svet_M
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 10 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Пользуясь определением предела, доказать равенство

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Dodeca

1

173

08 янв 2020, 21:51

Пользуясь определением равных матриц записать ответ

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Linux_Gamer

4

161

13 дек 2020, 18:05

Доказать равенство предела функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

md_house

1

184

15 янв 2018, 05:23

Непосредственно из определения предела функции доказать

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Anhelius

2

116

29 окт 2021, 13:37

Пользуясь теоремой Вейерштрасса, доказать

в форуме Ряды

tanyhaftv

3

303

12 окт 2019, 23:32

Как, Пользуясь критерием Коши, доказать cх и рх X(n)?

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

GeHorner

31

611

08 окт 2020, 17:08

Доказать существование предела

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

AkorZero

3

170

01 дек 2020, 20:55

Доказать по определению предела

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

elektron4ik

3

797

11 апр 2017, 14:56

Доказать равенство предела 1

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Piteryo

14

1026

03 дек 2015, 20:25

Доказать существование предела

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

ladislaus232

2

231

16 янв 2021, 11:29


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved