Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Предел многочлена с корнями
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=53&t=19454
Страница 1 из 1

Автор:  IrAngel [ 16 ноя 2012, 06:39 ]
Заголовок сообщения:  Предел многочлена с корнями

Распишет кто нибудь как решать, хотя бы просто методами который тут можно использовать

Вложения:
.JPG
.JPG [ 8.85 Кб | Просмотров: 863 ]

Автор:  Avgust [ 16 ноя 2012, 07:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел многочлена с корнями

Самый универсальный метод - разложение в ряд Тэйлора при [math]x=\infty[/math]

[math]\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x} \, \to \, \frac 12+\frac{x^{-\frac 12}}{8}-\frac{x^{-1}}{8}+\frac{11 x^{-\frac 32}}{128}-\frac{3x^{-2}}{64}+...[/math]

Отсюда ясно: все члены, кроме [math]\frac 12[/math] , благополучно обнуляются.

Кстати, и при минус бесконечности будет такой же предел.

Автор:  Yurik [ 16 ноя 2012, 08:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел многочлена с корнями

[math]\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt x } } - \sqrt x } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{x + \sqrt {x + \sqrt x } - x}}{{\sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt x } } + \sqrt x }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\sqrt {x + \sqrt x } }}{{\sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt x } } + \sqrt x }} = \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\sqrt {1 + \sqrt {\frac{1}{x}} } }}{{\sqrt {1 + \sqrt {\frac{1}{x} + \sqrt {\frac{1}{{{x^2}}}} } } + 1}} = \frac{{1 + 0}}{{1 + 0 + 0 + 1}} = \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Автор:  Analitik [ 16 ноя 2012, 11:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел многочлена с корнями

Avgust писал(а):
Кстати, и при минус бесконечности будет такой же предел.

Avgust, Вы меня удивляете, а с каких это пор существует квадратный корень из минус бесконечности на множестве действительных чисел?

Автор:  Avgust [ 16 ноя 2012, 11:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел многочлена с корнями

Analitik
Вы меня еще больше удивляете. В минус бесконечности мнимая часть обнуляется. См. http://www.wolframalpha.com/input/?i=sq ... 3D-10%5E20

Автор:  Analitik [ 16 ноя 2012, 11:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел многочлена с корнями

Avgust
Ну раз так сказал Вольфрам, то разве я могу спорить с машиной!!!

Автор:  Avgust [ 16 ноя 2012, 12:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел многочлена с корнями

Вольфрам тут ни причем. Посмотрите график и особенно оранжевую линию мнимой части. А ведь здесь ох как далеко до минус бесконечности. http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... 2810%29%29

Автор:  Human [ 16 ноя 2012, 13:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел многочлена с корнями

Avgust

Да, предел действительный, но опять же для его вычисления приходится выходить за пределы действительной прямой на комплексную плоскость, чтобы обосновать стремление мнимой части к нулю. На дествительной же прямой предела не существует, потому что сама функция при отрицательных [math]x[/math] не существует как действительная функция действительного переменного.

Автор:  Avgust [ 16 ноя 2012, 13:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел многочлена с корнями

Выходить-не выходить это дело второе. Важно, что предел существует и равен он в точности 0.5. Мы же занимаемся высшей математикой, а не школьной.

Автор:  Analitik [ 16 ноя 2012, 13:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Предел многочлена с корнями

Avgust
Мы же занимаемся действительным анализом, а не комплексным!!!

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/